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Textaufgabe Wasserbehälter wann halb Leer

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Funktion, ln-Funktion

Petra21 aktiv_icon

18:19 Uhr, 12.04.2010

Hallo, ich hab hier mal eine Knifflige aufgabe:
Ein Wassertank entleert sich mit folgender e-Funktion:

y (x) = 10 e^{- 0,5 x}

Wie viel ist nur noch nach der hälte der Zeit im Wassertank?

Hab auch einen Ansatz. Sage aber lieber nicht zu viel um Leute hier zu verwirren.
Ich weiß die Frage ist ein wenig "schwammig" Formuliert. Denke aber lösbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
e-Funktion
ln-Funktion

sixshot aktiv_icon

18:21 Uhr, 12.04.2010

hi

was ist daran knifflig? löse die gleichung

5 = 10 \cdot e^{- 0.5 \cdot x}

grüße six

Petra21 aktiv_icon

18:43 Uhr, 12.04.2010

Hey Danke für die schnelle Antwort

y (x) =

Volumen im Tank.
setze ich das für

\frac{1}{2}

ein, bekomme ich den

x

wert raus wenn der Tank das volumen

\frac{1}{2}

hat.Oder etwa nicht?

Mein Ansatz:
Im Zeitpunkt 0. Also am Anfang wo der Behälter noch voll ist:

y (x) = 10 e^{- 0,5 \cdot 0}

y (x) = 10

Im Zeitpunkt

\frac{1}{2} :

y (x) = 10 e^{- 0,5 \cdot \frac{1}{2}}

y (x) = 7,7880

Also sind

10 - 7,7880 = 2,211

aus dem Behälter nach der Hälfte der Zeit geflossen???

Stevinho46 aktiv_icon

18:51 Uhr, 12.04.2010

Schau mal..

der Ansatz lautet:

\frac{1}{2}

=10*e^-0.5⋅x

das erklärt sich so.. Wie du schon richt erkannt hast ist der Anfangswert

10,

du willst wissen, wann der Wasserbehälter also nur noch 5 Liter enthält

5 = 10 \cdot e^{- 0,5} \cdot x .

. jetzt teilst du ja durch

10,

da du nur ja

e^{- 0,5} \cdot x

alleine stehen haben willst!

\frac{1}{2} = 10 \cdot e^{- 0,5} \cdot x

logisch oder? jetzt ziehst du nur noch den logarhytmus natural (taschenrechner

ln

oder log zur basis

e)

\Rightarrow ln (0,5) = - 0,5 \cdot x

dann geteilt durch

- 0,5

\Rightarrow \frac{ln (0,5)}{- 0,5} = x

\Rightarrow x = 1,38 .

. wenn du das jetzt in die ausgangsgleichung einsetz kommt circa 5 raus (Rundungsfehler) das ist also die Zeit in der dein Wasserbehälter halb leer/voll ist!!!

Grüße

Petra21 aktiv_icon

20:04 Uhr, 12.04.2010

Hey,

dann ist ja der Behälter halb voll. nach

1,3 . .

.
Gefragt ist aber die Füllmenge nach der Hälfte der Zeit. Sehe ich das falsch?

Stevinho46 aktiv_icon

20:07 Uhr, 12.04.2010

Dann hast du sicherlich die Frage falsch gelesen.. Wie sollst du die Hälfte der Zeit wissen, wenn

t

unendlich groß sein kann? Wenn du jetzt einen Zeitraum von

20

Stunden betrachten würdest, könntest du

t = 10

einsetzen, aber das ist nicht gegeben..
Du Fragst ja nach, wie viel noch im Behälter nach der hälfte der Zeit

\in \neq

hat, aber wie viel ist dann die volle Zeit?! Verstehst du, was ich meine? :-)

Petra21 aktiv_icon

20:19 Uhr, 12.04.2010

Oh man das meine ich mit kompliziert.

Es geht ja darum das der Behälter schon voll ist.
Leider wird er durch die E-Funktion, sprich

x \to

Unendlich nie ganz lehr sein.
Wie sieht denn die Lösung oben von mir aus wo ich

x \to \frac{1}{2}

gesetzt hab
und dann

f (x) = 10 e^{- 0.5 \cdot \frac{1}{2}}

gesetzt habe...

Stevinho46 aktiv_icon

20:22 Uhr, 12.04.2010

Das ist eigentlich kompletter Schwachsinn.. Wenn du

\frac{1}{2}

einsetzt, tust du nichts anderes als beispielsweise die zeit einer halben stunde zu ermitteln, wenn

t :

zeit in stunden entspricht.. :-)

Petra21 aktiv_icon

20:33 Uhr, 12.04.2010

Hey,

ok. Anderer Ansatz

Nach 5 τ (kennt man ja, wie beim Kondensator) ist der Behälter nahezu leer. ( Hier dann

10)

F (x) = 10 \cdot (- 2) e^{- \frac{x}{2}}

= - 20 e^{- 0,5} x

V = \int_{0}^{5} f (x) d x = 18,35

F (\infty) = 20

V % = 91,79 %

Muss ich das nun über Integral Rechnung berechnen oder hab ich einen zu komplizierten weg bei

10 τ

gewählt?

danke :-)

sixshot aktiv_icon

20:43 Uhr, 12.04.2010

hi

weil alles bierher oben geschriebene ignoriert wurde...

setz doch mal

\frac{\infty}{2}

ein, dann hast du die füllmenge nach der hälfte der zeit...

grüße six

Petra21 aktiv_icon

19:15 Uhr, 14.04.2010

Naja Trotzdem danke

\land

hat sich erledigt..

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