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Totale Differenzierbarkeit einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Kettenregel, Totale Ableitung

 
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Paul9000

Paul9000 aktiv_icon

20:08 Uhr, 27.06.2024

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Untersuche, ob die f(x,y):=arcsin(xy+x3+y33) in (0,0) total differenzierbar ist. Wenn ja, gib das Differential an.

Lösungsansatz: Ich betrachte erstmal nur die innere Funktion g(x,y):=xy+x3+y33. Wenn diese total differenzierbar ist, dann ist es nach der Kettenregel f auch, da der arcsin in g(0,0)=0 differenzierbar ist.

Der Teil xy ist offensichtlich differenzierbar, weil die partiellen Ableitungen stetig sind. Für den Teil x3+y33 fehlt mir aber ein Argument. Ich muss eine lineare Abbildung finden, sodass für h(x,y):=x3+y33 gilt h(x,y)-h(0,0)=A(x,y)+φ(x,y), wobei φ=o((x,y)) ist. Oder halt zeigen, dass es eine solche nicht gibt. Hat da jemand ein Lösungsvorschlag?

LG Paul

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Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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HAL9000

HAL9000

12:46 Uhr, 28.06.2024

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Die beiden partiellen Ableitungen fx und fy sind im Nullpunkt (0,0) beide gleich Null.

Totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt ist also dann gegeben, wenn g(x,y)o((x,y)) bzgl. (x,y)(0,0) gilt.

Und das ist kein Problem: Aus

x3+y3x3+y3x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3

folgt sofort x3+y33x+y und damit auch g(x,y)o((x,y)) im Nullpunkt.

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HAL9000

HAL9000

12:46 Uhr, 28.06.2024

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Die beiden partiellen Ableitungen fx und fy sind im Nullpunkt (0,0) beide gleich Null.

Totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt ist also dann gegeben, wenn g(x,y)o((x,y)) bzgl. (x,y)(0,0) gilt.

Und das ist kein Problem: Aus

x3+y3x3+y3x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3

folgt sofort x3+y33x+y und damit auch g(x,y)o((x,y)) im Nullpunkt.

Paul9000

Paul9000 aktiv_icon

14:57 Uhr, 28.06.2024

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Wieso folgt daraus, dass g(x,y)=o((x,y)). Weil dann müsste ja

lim(x,y)(0,0)g(x,y)(x,y)=0 sein. Nach der Rechnung ist das ganze ja aber nur kleiner als 1 oder? Oder übersehe ich was?
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HAL9000

HAL9000

16:11 Uhr, 28.06.2024

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Äh ja, da hab ich oben Unsinn erzählt. Die partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind nicht Null, sondern beide gleich 1. Da muss ich nochmal drüber nachdenken...


Was man betrachten sollte, ist h(x,y)=x3+y33-x-y in der Umgebung des Nullpunkts.

Diese Funktion müsste im Falle totaler Differenzierbarkeit dann h(x,y)o(x2+y2) erfüllen, was sie nicht tut:

Man betrachte nur mal h(t,t)t2+t2=23-22, was für t0 sicher nicht gegen Null konvergiert.

Frage beantwortet
Paul9000

Paul9000 aktiv_icon

14:53 Uhr, 10.07.2024

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Ah super, das habe ich jetzt auch so. Vielen Dank! :-)