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Trapez mit Inkreis über den Durchm. eines Kreises

Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Durchmesser, Inkreis, Kreisbogen, Trapez

 
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anonymous

anonymous

09:25 Uhr, 10.03.2019

Antworten
Hallo Forum,

ich benötige bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

"Einem Kreisbogen mit dem Durchmesser d ist ein Trapez mit der Grundseite d einzubeschreiben, welches einen Inkreis besitzt. Konstruiere die gegenüberliegende Grundseite!"

Nun ist mir bekannt, das es sich bei diesem Trapez um ein gleichschenkliges Trapez handeln muss, da nur dieses einen Inkreis besitzt. Auch ist mir bekannt das bei diesem Trapez wohl die Mittelparallele gleich den beiden Schenkeln sein muss, aber ich komme einfach nicht darauf, wie ich aus einer Strecke d ein solches Gebilde konstruieren kann.

Würde mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, ich dachte schon an den Strahlensatz, komme aber auch nicht weiter.

Vielen Dank

Kerstin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
abakus

abakus

10:00 Uhr, 10.03.2019

Antworten
"Einem Kreisbogen mit dem Durchmesser d "
Ist das wirklich alles?
Oder ist es konkret ein HALBKREIS?

" das es sich bei diesem Trapez um ein gleichschenkliges Trapez handeln muss, da nur dieses einen Inkreis besitzt."
Diese Aussage ist so nicht wahr. Auch nicht gleichschenklige Trapeze können einen Inkreis haben (und es gibt auch gleichschenklige Trapeze, die keinen Inkreis haben).

Ein Viereck, welches einen Inkreis besitzt, heißt Tangentenviereck. ABCD ist ein Tangentenviereck, wenn a+c=b+d gilt.
anonymous

anonymous

10:04 Uhr, 10.03.2019

Antworten
Hallo abakus,

danke für deine Rückfrage ....

Ja, es handelt sich um einen Halbkreis mit dem Durchmesser d .


Kerstin
anonymous

anonymous

17:20 Uhr, 10.03.2019

Antworten
Hat niemand eine Idee?

LG Kerstin
Antwort
abakus

abakus

17:37 Uhr, 10.03.2019

Antworten
Wenn das gleichschenklige Trapez einen Inkreis hat, stehen die Winkelhalbierenden von α und δ senkrecht aufeinander, ebenso die von β und γ.
Sei R der Radius des Halbkreises, AB der Durchmesser des Halbkreises, r der Radius des Inkreises, I der Mittelpunkt des Inkreises, M der Mittelpunkt von AB und N der Mittelpunkt der zu AB parallelen Seite CD.
Die Dreiecke AMI und IND sind dann ähnlich mit R:r = r:(ND), daraus folgt

(1) r²=R*ND
Im Dreieck MND gilt nach Pythagoras
(2) R²=(2r)²+(ND)²
Mit diesem Gleichungssystem sollte sich sowohl r als auch ND aus R berechnen lassen, und wenn du es berechnen kannst, kannst du es auch konstruieren.

PS: Ich erhalte ND=(5-2)R. Jetzt drücke mal ND nicht durch den Radius R, sondern durch den Durchmesser d aus...
anonymous

anonymous

17:47 Uhr, 10.03.2019

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Danke,

ich probiere es gleich aus!

Kerstin.
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:59 Uhr, 10.03.2019

Antworten
Es gibt verschieden große Trapeze mit den geforderten Eigenschaften.

Einen Konstruktionsweg habe ich dir aufgezeichnet.

mfG

Atlantik

Unbenannt
Antwort
irrsinn07

irrsinn07 aktiv_icon

20:10 Uhr, 10.03.2019

Antworten
zunächst bestätige ich die Überlegungen und Rechnungen von abakus, ergänzend gebe ich noch an:
ND =(-2+ Wurzel(5))*R =... =(-1+ 0,5*Wurzel(5))*d also ND ~0,118d

eine kleine Konstruktion anbei, die genauen Winkelwerte ergeben sich (rechnerisch) zu 25,91° bzw. 64,09°

ehrlicherweise muss ich sagen, dass mir die konstruktive Lösung noch nicht klar ist.

Trapez
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Bummerang

Bummerang

02:35 Uhr, 11.03.2019

Antworten
Hallo Atlantik,

Du hast entweder das Wort "einzubeschreiben" überlesen oder dessen Bedeutung ist Dir nicht bewußt! Es bedeutet, dass die Eckpunkte ALLE auf dem Kreisbogen liegen! Und dafür gibt es genau eine Lösung!
anonymous

anonymous

09:10 Uhr, 11.03.2019

Antworten
Hallo Bummerang,

ja es gibt natürlich nur ein Trapez mit den geforderten Eigenschaften.

Auf jeden Fall stimmt die Formel zur Berechnung der anderen Trapezseite!

Vielen Dank auch an dich ....


Kerstin.
anonymous

anonymous

09:13 Uhr, 11.03.2019

Antworten
Danke Atlantik für deine Konstruktion, aber es gibt nur genau ein Trapez, welches die geforderten Eigenschaften erfüllt, da alle Eckpunkte des gesuchten Trapezes auf dem Kreisbogen liegen sollen!

Viele Grüße Kerstin.
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:26 Uhr, 11.03.2019

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Ich habe nicht darauf geachtet, dass alle Eckpunkte des Trapez auf dem Halbkreis liegen müssen.

Wie geht denn nun die Konstruktion der gegenüberliegen Seite wie die Aufgabenstellung es verlangt?

mfG

Atlantik
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irrsinn07

irrsinn07 aktiv_icon

19:57 Uhr, 11.03.2019

Antworten
ich habe meine "Konstruktion" mit Hilfe von DynaGeo durchgeführt. Dabei habe ich durch Verschieben des Inkreismittelpunktes I (Radius=IM) auf der Mittelsenkrechten von AB den Inkreis solange "aufgeblasen", bis die Punkte D und C auf dem Halbkreis zu liegen kamen. Die Winkelmaße stimmen mit der Berechnung bestens überein.

Auch ich bin an einer "echten" Konstruktion interessiert. Analog zu meinem experimentellen Vorgehen habe ich im Hinterkopf eine zentrische Streckung, Fakt ist jedoch, dass ich noch keinen Lösungsweg sehe. Ich bin gespannt!
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abakus

abakus

21:19 Uhr, 11.03.2019

Antworten
Aus den (Nicht-)Reaktionen schließe ich, dass bisher keiner der übrigen Beteiligten den Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt erkannt hat.
Antwort
irrsinn07

irrsinn07 aktiv_icon

09:30 Uhr, 12.03.2019

Antworten
wenn 0,5+ 0,5*Wurzel(5) auftauchen würde, dann vielleicht...

da das nicht der Fall ist, sehe ich auch jetzt keinen Zusammenhang - ich bin weiterhin gespannt.
Antwort
Bummerang

Bummerang

18:13 Uhr, 12.03.2019

Antworten
Hallo,

"Einem Kreisbogen mit dem Durchmesser d "
Ist das wirklich alles?

Nein, war es nicht! Aus der vollständigen Formulierung war eigentlich schon alles ablesbar.

"Einem Kreisbogen mit dem Durchmesser d ist ein Trapez mit der Grundseite d einzubeschreiben"

Wenn ich ein Trapez mit einer Grundseite der Länge d habe und dieses Trapez einem Kreisbogen mit dem Durchmesser d einbeschrieben werden soll, dann geht das auf genau eine Art und Weise: Die Grundseite des Trapezes ist ein Durchmesser! Dann habe ich immer noch einen Kreisbogen, der mit der Grundseite einen Halbkreis bildet oder nicht! Da es sich hier um eine Konstruktionsaufgabe handelt, ist wohl ein Kreisbogen vorgegeben und das Trapez darin hineinzukonstruieren.

Hier mal eine Komplettlösung, wie man einerseits die für die Konstruktion notwendigen Werte errechnet und diese dann nicht einfach abmisst, sondern konstruiert.

Dazu konstruiert man zunächst zwei beliebige nichtparallele Sehnen am Kreisbogen. Für beide Sehnen konstruiert man die Mittelsenkrechten, die sich im Kreismittelpunkt des Kreisbogens schneiden. Diesen Schnittpunkt nennen wir M. Durch diesen Kreismittelpunkt konstruiert man eine Gerade, die den gegebenen Kreisbogen in zwei Punkten schneidet. Den "linken" Punkt nennen wir A und den "rechten" Punkt B.

Für die folgenden Überlegungen erzeugst Du Dir eine geeignete Skizze. Zeichne den ersten Quadranten eines Koordinatensystem mit der Einheit r=d2 (so dass der Koordinatenursprung und r hinreichend weit auseinander liegen, z.B. 10cm für r). Den selben Platz nach oben bitte auch, weil ja ein Halbkreis vorgegeben ist und wir jetzt auf einen Viertelkreis reduzieren.In das Koordinatensystem zeichnest Du um den Ursprung den Viertelkreis mit Radius r=d2, der Schnittpunkt auf der x-Achse ist B, der Ursprung M. Jetzt skizzierst Du im Abstand von (5-2)r eine zur x-Achse parallele Gerade in diesem Viertelkreis. Wir machen nur eine Skizze und benutzen einfach die vorhandenen Berechnungen. Wenn Du r= 10cm gewählt hattest, ist der Abstand dieser Geraden 2,36cm, also "zeichnerisch genau" zwischen 2,3cm und 2,4cm. Der Schnittpunkt mit dem Kreis ist C, der Schnittpunkt mit der x-Achse ist H. Von C aus zeichnest Du die waagerechte Gerade bis zur y-Achse, der Punkt dort ist N. Jetzt verbindest Du C mit B und halbierst die Strecke MN¯ mit dem Lineal und Taschenrechner. Bei r= 10cm sind das m.E. 4,94cm. Diesen Punkt nennst Du Mi, das ist der Mittelpunkt des Innkreises. Um ihn zeichnest Du jetzt den Halbkreis, so dass M und N auf diesem Halbkreis liegen. Dieser Kreis berührt Deine Strecke BC¯ im Punkt P. Wie abakus zu Beginn schrieb, gilt für unser Trapez, dass

a+c=b+d

Und weil unser Trapez gleichschenklig ist, ist b=d und wir können schreiben:

12a+12c=b

|MB¯|+|CN¯|=|BP¯|+|CP¯|

Dass diese Gleichung erfüllt ist, ist klar, denn die beiden von B bzw. C ausgehenden Strecken sind paarweise gleich lang, da sie auf unterschiedlichen Tangenten zum selben Kreis, dem Innkreis, liegen und die betrachteten Tangentenabschnitte die Strecken zwischen dem Tangentenschnittpunkt B bzw. C und den Berührpunkten M und P bzw. P und N sind. Deshalb gilt:

|MB¯|=|BP¯|

und

|CN¯|=|CP¯|

Jetzt betrachten wir einige Punkte näher: Der Punkt C hat die Koordinaten (x;r2-x2), der Punkt H demzufolge (x;0) und der Punkt B(r;0). In dem rechtwinkligen Dreieck BHC haben die Katheten die Längen r2-x2 und (r-x). Die Länge der Hypothenuse ist (r+x). Deshalb gilt nach Pythagoras:

(r2-x2)+(r-x)2=(r+x)2

2r2-2rx=r2+2rx+x2

r2+4r2=4r2+4rx+ ×^2

5r2=(2r+x)2

5r=2r+x

x=(5-2)r

Also genau das erwartete Ergebnis. Damit wechseln wir zurück zur Konstruktion!

Dort errichten wir in B eine Senkrechte, die nach oben mindestens d lang ist, nach unten wird nichts gebraucht.(Konstruktion einer Senkrechten: Verlängerung der Geraden über B hinaus. Von B aus mit dem Zirkel in beliebiger Entfernung auf beiden Seiten den gleichen Abstand abtragen. Von diesen beiden Hilfspunkten B' und B'' die Mittelsenkrechte mit dem Zirkel und Lineal konstruieren). Mit dem Zirkel konstruiert man nun auf dieser Senkrechten den Punkt Q, der den selben Abstand von B hat wie A auf der Seite a des Trapezes. Jetzt verbindet man M mit Q und trägt von Q aus den selben Abstand auf dieser neuen Strecke ab und nennt den Punkt R. Gemäß Konstruktion ist das Dreieck MBQ rechtwinklig und hat die Kathetenlängen |MB¯|=r und |BQ¯|=d=2r. Damit ergibt sich als Hypothenusenlänge:

|MQ¯|=r2+4r2=5r

Die Länge der Strecke |QR¯| ist wieder 2r, so dass sich ergibt:

|MR¯|=|MQ¯|-|QR¯|=5r-2r=(5-2)r

Deshalb tragen wir den Abstand |MR¯| von M aus in Richtung A und in Richtung B ab, die Punkte nennen wir D' in Richtung A und C' in Richtung B. Wenn man jetzt die Strecke BQ¯ parallel jeweils durch C' und durch D' verschiebt, bilden die beiden Schnittpunkte mit dem gegebenen Kreisbogen die Punkte C und D. Zum Schluß der Konstruktion muß man nur noch B mit C,C mit D und D mit A verbinden. Damit ist das gesuchte Trapez konstruiert.

Ist hier nicht gefordert, kann man aber noch nachliefern: Die Konstruktion des Innkreises. Dazu das Lot von M auf CD¯ fällen, Schnittpunkt N. Den Mittelpunkt der Strecke MN¯ konstruieren und diesen Mi nennen. Um Mi einen Kreis mit Radius |MiM¯| konstruieren. Dieser Kreis sollte BC¯ und AD¯ jeweils berühren.

PS: Bitte Tippfehler ignorieren. Ich habe breite Finger und habe alles am Smartphone getippt und keine Lust zur Korrektur des Textes!
Antwort
irrsinn07

irrsinn07 aktiv_icon

00:42 Uhr, 14.03.2019

Antworten
anbei nochmals eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal - mit dem Konstruktionstext von Bummerang kann ich leider nichts anfangen.

Zur Erläuterung:
im 3.Quadrant: Konstruktion von Wurzel(5) nach dem Höhensatz
im 4. Quadrant: Konstruktion von R*Wurzel(5) nach dem 1. Strahlensatz sowie von
ND = (Wurzel(5) -2)R= R*Wurzel(5) -2R
dann die Konstruktion von C und D sowie Inkreis

Schönheitsfehler: dem Ganzen liegt eine algebraische Berechnung von ND zu Grunde - schade

Trapez-a
Antwort
Bummerang

Bummerang

08:06 Uhr, 14.03.2019

Antworten
Hallo irrsinn07,

ich gehe davon aus, dass Du für Deine Aussage, mit meiner Beschreibung nichts anfangen zu können, meine Beschreibung versucht hast. Dann gibt es auch eine Stelle, an der Du sie nicht verstanden hast. Ich bin gern bereit, Dir den für Dich unverständlichen Teil näher zu erläutern, was ich bei einer Nachfrage auch gemacht hätte. Also, an welcher Stelle?
Antwort
irrsinn07

irrsinn07 aktiv_icon

09:49 Uhr, 14.03.2019

Antworten
@Bummerang: ich danke zunächst für deine angebotene Hilfe. Dein Text ist nach m.E. sehr langatmig, u.a. wird erklärt, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert - das ist doch alles "Handwerkszeug".

Die von mir durchgeführte Konstruktion ist selbsterklärend.

Nochmals: Danke für dein Angebot.
Antwort
Bummerang

Bummerang

10:51 Uhr, 14.03.2019

Antworten
Hallo irrsinn007,

"Dein Text ist nach m.E. sehr langatmig"

Die einen sagen so, die anderen sagen "ausführlich, idiotensicher und für ALLE, auch geometrisch nicht unbedingt fortgeschrittene Leser"!

"u.a. wird erklärt, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert, das ist doch alles 'Handwerkszeug'."

Weil die Erfahrung lehrt, dass "geometrisch nicht unbedingt fortgeschrittene Leser" diese Antworten lesen und das nachvollziehen wollen. Was Du als Handwerkszeug bezeichnest, ist hier in diesem Forum nicht unbedingt Jedermannswissen. Ausserdem zeigt mir Dein Einwand, dass Du den Text gar nicht richtig gelesen hast, denn an keiner Stelle beschreibe ich die Konstruktion einer Mittelsenkrechten! An einer einzigen Stelle beschreibe ich die Konstruktion einer Senkrechten in einem Punkt! Und das ist nach meiner Erfahrung im Nachhilfebereich wahrlich kein Handwerkszeug, das man in der Schule lernt. Zumindest bis zum Realschulbereich wird heutzutage gelehrt, dass man sein rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite an der Geraden anlegt und dann den rechten Winkel auf den Punkt schiebt, in dem dann mittels des Dreiecks die Senkrechte gezeichnet wird. Das ist bittere Realität an unseren Schulen! Und deshalb habe ich diese eine Konstruktion auch tatsächlich in Klammern angegeben!

"mit dem Konstruktionstext von Bummerang kann ich leider nichts anfangen"

Fazit: Du wolltest damit nichts anfangen! Er war Dir zu lang, er erklärt Dinge, die Du im Gegensatz zur Masse bereits beherrscht! Das zu meinen, ist Dein gutes Recht!Aber wenn Du dieser Meinung bist, dass irgendein Text Dir nicht taugt, dann benutze bitte keine pauschale Untauglichkeits-Formulierungen, die implizieren leicht, dass niemand damit was anfangen kann, dass die Konstruktion vielleicht nicht nachvollziehbar oder gar falsch ist. Das allerdings ist bei meiner Beschreibung alles nicht der Fall. Du, und vielleicht noch einige andere, ich denke vor allem an die bekannten Dauernörgler dieses Forums, kannst mit diesem Text nichts anfangen, weil Du damit nichts anfangen willst.
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