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Trigonometrie

Schüler Sonstige,

Tags: Trigonometrie

alexmat aktiv_icon

12:48 Uhr, 12.05.2011

Hello, kann mir bitte jemand bei diesem Bsp. helfen? Skizze etc.

Auf einer horizontalen Ebene steht eine Mauer. Von einem Punkt A dieser Ebene aus
sieht man die Oberkante dieser Mauer unter dem Höhenwinkel = 8,4°.
Geht man von A aus genau 100m auf die Mauer zu, gelangt man zu einem Punkt B, von dem aus man die Oberkante der Mauer unter dem Höhenwinkel = 36,2° sieht.

Wie hoch ist die Mauer?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Edddi aktiv_icon

12:58 Uhr, 12.05.2011

...guckst du auf meine Skizze zu einem analogen Problem!

;-)

alexmat aktiv_icon

14:12 Uhr, 12.05.2011

sorry aber so verstehe ich leider nur Bahnhof.

Edddi aktiv_icon

14:33 Uhr, 12.05.2011

...zeichne eine horizontale Gerade (Boden)

...trage darauf von links an 3 Punkte

A, B

und

C

ab

...zeichne senkrecht auf A eine Gerade mit Höhe

h

(Mauer) und benenn' das obere Ende mit

D

...verbinde nun den ganz rechten Punkt

C

mit D. Dies ist die Sichtline mit der man die Oberkante der Mauer unter dem Winkel

A C D = 8,4

° sieht.

Geht man nun näher ran, wird der Winkel natürlich größer. Zeichne also noch eine Verbindungslinie von

B

nach D. Jetzt hast du wie gesagt die Sichtlinie auf die Oberkante, wenn du

100 m

rangegangen bist. Dieser Winkel

A B D

beträgt

36,2

°

Damit MUSS Winkel

D B C = 180 - 36,2 = 143,8

sein (Ergänzungswinkel)

Und so muss, da in der eukl. Ebene ALLE Dreiecke

180

° Innenwinkelsumme haben (Innenwinkelsatz), der Winkel

B C D = 180 - 143,8 - 8,4 = 27,8

° sein.

Du hast nun also alle 3 Winkel und eine Seite gegeben. Damit kannst du mittels Sinussatzes auch noch die fehlenden Seiten berechnen.
Wir brauchen nur die Strecke

\bar{D B} .

Es gilt im Dreieck: Seitenlänge durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels = Konstant

Damit ist:

\frac{\bar{D B}}{sin (\frac{8,4}{180} \cdot π)} = \frac{\bar{B C}}{sin (\frac{27,8}{180} \cdot π)}

\frac{\bar{D B}}{sin (\frac{8,4}{180} \cdot π)} = \frac{100}{sin (\frac{27,8}{180} \cdot π)}

\bar{D B} = 100 \cdot \frac{sin (\frac{8,4}{180} \cdot π)}{sin (\frac{27,8}{180} \cdot π)}

Da Dreieck

A B D

ein rechtw. ist, kannst du nun die Höhe

h = \bar{A D}

einfachst über die Winkelfunktion berechnen:

Es gilt:

sin (\frac{36,2}{180} \cdot π) = \frac{h}{\bar{B D}}

h = sin (\frac{36,2}{180} \cdot π) \cdot (\bar{B D})

h = 100 \cdot sin (\frac{36,2}{180} \cdot π) \cdot \frac{sin (\frac{8,4}{180} \cdot π)}{sin (\frac{27,8}{180} \cdot π)}

...so, nun skizziers' dir auf, damit du meine Ausführung verstehst.

;-)

alexmat aktiv_icon

15:13 Uhr, 12.05.2011

Anbei mein Versuch einer Skizze....

Solidus aktiv_icon

19:33 Uhr, 12.05.2011

zwar keine winkel dabei aber an sich komplett!eig ne ziemlich simple aufgabe dreieck ABD kannste per sinussatz bestimmen und danach dreieck ACD über

sin α \cdot

AD= CD

alexmat aktiv_icon

07:51 Uhr, 13.05.2011

beim mir kommt aber leider immer ein falsches Ergebnis.

Im ersten Dreieck nehme ich folgende Formel:

100/sinus

α =

b/sinus

β

d . h : \frac{100}{8,4} =

b(gesuchte Strecke)/ sinus

143,78

= 100 \cdot

sinus

143,78 = b = 330 m ...

.

Das kann nicht richtig sein oder?

irena

08:18 Uhr, 13.05.2011

HALLO,
x:=|AD|; Winkel(ADB) =27,8°=180°-8,4°-143,8°
-

alexmat aktiv_icon

09:29 Uhr, 13.05.2011

eigentlich wollte ich die Strecke BD ausrechnen....ich möchte ja

h

wissen....

irena

09:48 Uhr, 13.05.2011

Kriegst du auch,

x

ist die Hypthenuse , der Winkel bei

D

ist 180°-90°-8.4°=81,6°

cos

81,6°=

\frac{h}{x}

h = x \cdot cos

81,6°

= 330,95 \cdot cos

81,6°

= 48,35 m

die Höhe der Mauer

alexmat aktiv_icon

10:28 Uhr, 13.05.2011

Laut Lösung ist Sie aber

18,5 m

. Kann es sein, dass der Winkel(27,8) noch abgezogen werden muss?

irena

10:32 Uhr, 13.05.2011

Nein weil ich das Dreieck ACD betrachte.
Sind die Winkelangaben richtig?

alexmat aktiv_icon

10:37 Uhr, 13.05.2011

1)

Auf einer horizontalen Ebene steht eine Mauer. Von einem Punkt A dieser Ebene aus
sieht man die Oberkante dieser Mauer unter dem Höhenwinkel = 8,4°. Geht man
von A aus genau

100 m

auf die Mauer zu, gelangt man zu einem Punkt

B,

von dem aus
man die Oberkante der Mauer unter dem Höhenwinkel = 36,2° sieht.
Wie hoch ist die Mauer?

irena

10:56 Uhr, 13.05.2011

Der 1 Ansatz bei der Anwendung des sinussatzes war auch falsch. Leider habe ich ihn so übernommen!
folgendes gilt:

\frac{sin β}{sin α} = sin

143.8°

/ sin

278°

= \frac{x}{100}; x = 126,5 m

\to h = x sin

8,4°=

18,48 m

alexmat aktiv_icon

11:01 Uhr, 13.05.2011

wieso gilt nicht sinussatz: a/sinus

α =

b/sinus beta?

irena

11:10 Uhr, 13.05.2011

Gilt auch, schau dir aber auch an welche Seite und welche Winkel zueinander passen!

ChilliConCarne aktiv_icon

11:19 Uhr, 13.05.2011

Sorry wenn ich dazwischen funke, aber was spricht gegen die Anwendung des Tangens?

Um es formal etwas übersichtlicher zu machen:

\begin{array}{rcl} \bar{A B} = & x_{A} & = 100 \\ \bar{B M a u e r} = & x_{B} \\ M a u e r h o e h e = & h \\ W i n k e l B e i A = & α & = 8.4 \\ W i n k e l B e i B = & β & = 36.2 \end{array}

Es gilt doch
i)

t a n (α) = \frac{h}{x_{A} + x_{B}}

und
ii)

t a n (β) = \frac{h}{x_{B}} \Rightarrow x_{B} = \frac{h}{t a n (β)}

Nun setzt man

x_{B}

in i) ein und erhält

t a n (α) = \frac{h}{x_{A} + \frac{h}{t a n (β)}} \Rightarrow \dots \Rightarrow h = \frac{t a n (α) t a n (β) x_{A}}{t a n (β) - t a n (α)}

Alle Größen in der letzten Gleichung für

h

sind bekannt, also lässt sich

h

damit ausrechnen.

alexmat aktiv_icon

11:36 Uhr, 13.05.2011

kann ich in diesem Bsp. meine Formel anwenden, wenn ja wie?

irena

11:41 Uhr, 13.05.2011

sicher kann man den tan anwenden nur das Problem den sinussatz richtig anzuwenden ist damit nicht gelöst.

a, b, c

sind immer die den Winkeln

α, β, γ

gegenüberliegenden Seiten!!!!!

ChilliConCarne aktiv_icon

11:46 Uhr, 13.05.2011

Ach ok! Meinte die Winkel seihen am 'Fuß des Betrachters'. Dann ist meine Antwort natürlich kaum zu gebrauchen.

EDIT: Wobei ... muss der Sinussatz hier wirklich angewendet werden? Die Winkel an den Punkten

A

und

B

lassen sich nämlich auch einfach durch Winkelsummen Berechnungen herleiten und darauf in meine obige Formel einsetzen.

Solidus aktiv_icon

12:22 Uhr, 14.05.2011

hmm ich denke,wie so meist-viele wege führen nach rom,jeder für sich,wies am leichtesten ist,ich persönlich würde übern sinussatz gehen,weils meines erachtens nach am schnellsten geht und ich nicht das eine ins andere einsetzen muß!aber ja der eine findet das leichter,der andere das,jedenfalls können wir die frage somit wohl als abgeschlossen klären

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