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Trigonometrie im nicht-rechtwinkligen Dreieck

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Trigonometrie

WiesoMathe aktiv_icon

04:41 Uhr, 17.02.2022

Hey :-)

ich habe eine konkrete Frage zur Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in einem nicht-rechtwinkligen Dreieck. Damit man

sin, cos & tan

verwenden kann, kann ich mir ja einfach ein Dreieck bilden, welches einen rechten Winkel hat. Das hat man bei dem hier abgebildeten Dreieck ja quasi gemacht. Wenn ich mir das rechte Dreieck anschaue, dann kann ich auch alles berechnen indem ich mit dem sin anfange.
Hypotenuse

= 14

Gegenkathete

= 6

Sin(a) = Gegenkathete : Hypotenuse
Sin(a)

= 0,43

Sin^-1

(0,43) = 25,4

Also der gesuchte Winkel sind 25,4° gerundet.
Aber wie kann ich jetzt

y & x

berechnen?
Ich weiß doch nur eine Seitenlänge von 6cm und das wars oder? Wie komme ich weiter?

LG & vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Raummessung

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06:03 Uhr, 17.02.2022

Der 3.Winkel ist: 180°-90°-25,4° = 64,6°

sin 64,6 = \frac{6}{x}

Zudem gilt:

\frac{14 \cdot x}{2} = \frac{6 \cdot y}{2}

(Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks)

y = . .

Kartoffelchipsman aktiv_icon

06:41 Uhr, 17.02.2022

Sei die Maßeinheit für die Winkel Grad.

Etwas genauer ist dann

α = a r c s i n (\frac{6}{14}) = a r c s i n (\frac{3}{7}) \approx 25,37693

.

Der Winkel gegenüber ist dann

90 - α,

weil der Winkel oben ein rechter ist,

wie man am Punktsymbol sieht.

Dass diese Information elementar für die Eindeutigkeit von

x

und

y

ist,

sieht man daran, dass man das rechte Teildreieck sonst

durch ein beliebiges, geeignetes linkes Teildreieck ergänzen könnte,

ohne die gegebenen Seiten der Längen 6 und

14

und somit

α

zu beeinflussen.

Es ist somit

x = \frac{6}{sin (90 - α)} \approx 6,64078

und

y = \sqrt{x^{2} + 14^{2}} \approx 15,49516

.

Für elektronische Rechenknechte:

In Rad und ohne Zwischenwerte lauten die Formeln

x = \frac{6}{sin (\frac{π}{2} - a r c s i n (\frac{3}{7}))}

und

y = \sqrt{{(\frac{6}{sin (\frac{π}{2} - a r c s i n (\frac{3}{7}))})}^{2} + 14^{2}}

HAL9000

07:26 Uhr, 17.02.2022

\sin (\frac{π}{2} - \arcsin (\frac{3}{7}))

schreit geradezu flehentlich nach Vereinfachung. Und tatsächlich ist

x = \frac{21}{\sqrt{10}}

.

Was auch kein Wunder ist, da man sämtliche relevanten Seitenlängen hier auch trigonometriefrei mit Pythagoras sowie Ähnlichkeit berechnen kann. ;-)

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07:32 Uhr, 17.02.2022

oder so:

x^{2} + y^{2} = 14^{2} = 196

x \cdot 14 = y \cdot 6

y = x \cdot \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \cdot x

x^{2} + {(\frac{7}{3} x)}^{2} = 196

. .

HAL9000

07:49 Uhr, 17.02.2022

@supporter

Du hast die Hypotenuse mit einer Kathete verwechselt. Tatsächlich ist

y^{2} - x^{2} = 1 4^{2}

Kartoffelchipsman aktiv_icon

08:13 Uhr, 17.02.2022

x

ohne Winkel per Kongruenz und Pythagoras:

x = \frac{6}{\sqrt{14^{2} - 6^{2}}} \cdot 14 = \frac{84}{\sqrt{160}} = \frac{84}{\sqrt{16 \cdot 10}} = \frac{84}{4 \cdot \sqrt{10}} = \frac{21}{\sqrt{10}}

.

Und natürlich ist

sin (\frac{π}{2} - a r c s i n (\frac{3}{7}))

= sin (\frac{π}{2}) \cdot cos (a r c s i n (\frac{3}{7})) - cos (\frac{π}{2}) \cdot sin (a r c s i n (\frac{3}{7}))

= \sqrt{1 - {(\frac{3}{7})}^{2}} = \frac{2}{7} \cdot \sqrt{10}

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08:30 Uhr, 17.02.2022

Danke, HAL.
Leider kann ich nicht edieren.
Das hast nun du an meiner Stelle getan.
Morgenstund hat Blei im Hirn. :-)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

08:48 Uhr, 17.02.2022

Einen Picasso noch...

WiesoMathe aktiv_icon

10:33 Uhr, 17.02.2022

Wow.. erstmal vielen Dank für die ganzen guten und super schnellen Antworten. Vlad ich stand auf dem Schlauch dass der obere Winkel einer rechter Winkel ist. Damit ergibt sich natürlich alles. Also ein Punkt im Winkel bedeutet immer er ist ein rechter Winkel?

HAL9000

10:34 Uhr, 17.02.2022

Was mir erst jetzt auffällt: Wieso heißt die Überschrift eigentlich "Trigonometrie im NICHT-rechtwinkligen Dreieck" ?

Sofern man hier nicht noch ein paar zusätzliche Linien einzeichnet, sind hier weit und breit keine nicht-rechtwinkligen Dreiecke zu entdecken. ;-)

EDIT: Hat sich komischerweise mit deinem letzten (auch dieses Thema betreffenden) Beitrag überschnitten.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

11:49 Uhr, 17.02.2022

Ja, das kennzeichnet allgemein
den rechten Winkel..

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