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Trigonometrische Funktionen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Trignometrische Funktionen, Trigonometrie, Trigonometrische Funktion

Pfadfinder94 aktiv_icon

17:57 Uhr, 15.05.2011

hallo, ich hab bald eine Mathearbeit und die nachfolgende Aufgabe war eine Übungsaufgabe,die ich leider nicht ganz verstanden habe. Gibt's hier jemanden, der mir da behilflich sein kann? Bitte Rechenweg mit Lösung, da ich die Aufgabe komplett falsch gemacht habe. danke schon mal an alle :-)

Das größte Riesenrad der welt, das London Eye, hat einen Durchmesser von

135

Meter, für eine volle Umdrehung benötigt es

20

Minuten.

a)

Ermitteln Sie die Funktion

s,

die der Zeit

t

nach dem Einsteigen die Höhe über dem Boden zuordnet. Führen Sie hierzu ein geeignetes Koordinatensystem ein.

b)

In welcher Höhe befindet man sich 7 Minuten nach dem Einsteigen?

c)

Wie viel Zeit ist seit dem Einsteigen vergangen, wenn man

100

Meter über dem Boden ist?

Ich erspar euch mal meine peinlichen Lösungsansätze,da diese laut meinem Lehrer "katastrophal" sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Atlantik aktiv_icon

18:23 Uhr, 15.05.2011

Hallo ,

Ich stelle mal eine Zeichnung ein,wie ich mir das Riesenrad in verkleinerter Form im Koordinatensystem vorstelle.

Die Funktion könnte dann eine auseinandergezogene Sinuskurve sein. Also eine Funktion,die bei 180°einen Hochpunkt hat und bei 360° wieder den Wert 0 erreicht.

Alles Gute
Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Atlantik aktiv_icon

07:04 Uhr, 16.05.2011

Hallo Pfadfinder,

ich muss mich verbessern, ich schrieb, dass die Funktion bei

180

Grad einen Hochpunkt hat, das stimmt nicht. Es muss heißen bei

90

Grad ein Hochpunkt und bei 180Grad bzw.0 Grad eine Nullstelle.

Dann könnte man die Höhe über dem Boden als Funktion des Winkels betrachten. Dieser Winkel ist ja dann auch noch abhängig von der verstrichenen Zeit.Bei einem Winkel von

45

Grad ( Vierteldrehung), wären dann 5 Minuten vergangen. Um die Höhe nach dieser Zeit zu bestimmen, muss man die Gerade

y = x (

da die Steigung

m = 1

ist)mit dem Kreis

x^{2} + {(y - \frac{135}{2})}^{2} = {(\frac{135}{2})}^{2}

schneiden. Da müsste dann für die Höhe

67,5 m

herauskommen.

Wie die Gesamtfunktion lautet, erschließt sich für mich bisher noch nicht. Aber man könnte auf diesem Wege die Fragen bei

b)

und

c)

beantworten.

Alles Gute

Atlantik

funke_61 aktiv_icon

09:48 Uhr, 16.05.2011

Hallo,
um auf die Funktion

s (t)

zu kommen, schlage ich diese Überlegung vor:
Betrachten wir den Einheitskreis, dann ist die "Höhe über dem Mittelpunkt des Einheitskreises"

sin α

Vergrössen wir den Einheitskreis auf den Radius (

=

halber Durchmesser) des "London Eye" (also

\frac{135}{2}

Meter), dann ist das

\frac{135}{2} sin α

Um auf das Koordinatensystem von Atlantik zu kommen addieren wir noch den Radius

\frac{135}{2}

dazu:

\frac{135}{2} + \frac{135}{2} sin α

Diesen Tem dürfen wir jetzt

s (α)

nennen:

s (α) = \frac{135}{2} + \frac{135}{2} sin α

Als Probe kann man überprüfen, ob zB. für

s (α = -

90°)

= 0

und für

s (α =

90°)

= 135

herauskommt.
Bleibt noch die Bestimmung des Zusammenhangs zwischen dem Winkel

α

und der Zeit

t

funke_61 aktiv_icon

10:21 Uhr, 16.05.2011

Der Zusammenhang zwischen

α

und

t (

\\in Minuten) sollte

z . B

. diese Werte ergeben:

α (t = 0) = -

90°

= - \frac{π}{2}

(daher kommt auch das

- \frac{π}{2}

in meinem "Ansatz" weiter unten)

α (t = 5) =

0°

= 0

α (t = 10) =

90°

= \frac{π}{2}

α (t = 15) =

180°=

π

α (t = 20) =

270°=

\frac{3 π}{2}

Damit sind wir einmal "im Kreis" gefahren.
Jetzt nehm ich mal

α

im Bogenmaß und mach folgenden "Ansatz" (mit einem neuen Parameter

ω) :

sin α = sin (ω t - \frac{π}{2}) \to α = (ω t - \frac{π}{2})

Wenn man die obigen Werte für

t

in diesen Ansatz einsetzt ergibt sich

α (t = 0) = ω \cdot 0 - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}

α (t = 5) = ω \cdot 5 - \frac{π}{2} = 0

α (t = 10) = ω \cdot 10 - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

α (t = 15) = ω \cdot 15 - \frac{π}{2} = π

α (t = 20) = ω \cdot 20 - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}

Wenn man die unteren vier "Bedingungen" nach dem Parameter

ω

auflöst ergibt sich

ω = \frac{π}{10}

(und die erste Bedingung "liefert eine wahre Aussage").
Damit wäre die Funktion

s (t)

bestimmt als

s (t) = \frac{135}{2} + \frac{135}{2} sin (\frac{π}{10} \cdot t - \frac{π}{2})

;-)
PS: In Physik-Formelsammlungen findet man unter dem Stichwort "Winkelgeschwindigkeit" normalerweise dieses hier als Parameter eingeführte

ω

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