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Trigonometrische Identität beweisen

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Tags: Additionstheorem, Identiät, Trigonometrie

Alexander93 aktiv_icon

17:45 Uhr, 10.11.2017

Schönen guten Abend.

Ich beschäftige mich jetzt schon länger mit folgender Aufgabe.

Ich soll zeigen, dass die folgende Beziehung gilt:

sin(α+θ)cos(α)-cos(α+θ)sin(α)=sin(θ)

Ich bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen, und zwar habe ich die Additonstheoreme angewandt:

(sin(α)*cos(θ)+cos(α)*sin(θ))*cos(α)-(cos(α)*cos(θ)-sin(α)*sin(θ))*sin(α)=sin(θ)

Ab hier bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich weiter voran gehen soll bzw. darf.
Mein Skript hilft mir leider auch nicht weiter, daher würde ich mich über Unterstützung sehr freuen.

Schöne Grüße

Alex

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Apilex aktiv_icon

17:54 Uhr, 10.11.2017

sin (x - y) = sin (x) cos (y) - cos (x) \cdot sin (y)

versuchs mal mit dem Additionstheorem und überleg dir was

y

und was

x

sein muss

Alexander93 aktiv_icon

18:12 Uhr, 10.11.2017

Ohje meine griechischen Zeichen hat es leider nicht richtig wiedergegeben. Entschuldigung bin neu hier.

Um es zu vereinfachen:

Ich habe ja sin(x+y)cos(x)-cos(x+y)sin(x)=sin(y) gegeben.

Mit dem Additionstheoreme bekomme ich ja folgendes raus:

(sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y))*cos(x)-(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))*sin(x)=sin(y)

Ich bin mir bezüglich der Regeln jetzt nicht sicher, in wieweit ich nun weiterrechnen darf.

Schöne Grüße

Alex

Bummerang

18:19 Uhr, 10.11.2017

Hallo,

der Anfang ist schon richtig, nur musst Du auf Vorzeichen bei der Klammerauflösung achten und dann mutig weiterrechnen!

sin (α + θ) \cdot cos (α) - cos (α + θ) \cdot sin (α)

= (sin (α) \cdot cos (θ) + cos (α) \cdot sin (θ)) \cdot cos (α) - (cos (α) \cdot cos (θ) - sin (α) \cdot sin (θ)) \cdot sin (α)

= sin (α) \cdot cos (θ) \cdot cos (α) + cos (α) \cdot sin (θ) \cdot cos (α) - cos (α) \cdot cos (θ) \cdot sin (α) + sin (α) \cdot sin (θ) \cdot sin (α)

= sin (α) \cdot cos (α) \cdot cos (θ) + {cos}^{2} (α) \cdot sin (θ) - sin (α) \cdot cos (α) \cdot cos (θ) + {sin}^{2} (α) \cdot sin (θ)

= {cos}^{2} (α) \cdot sin (θ) + {sin}^{2} (α) \cdot sin (θ)

= ({cos}^{2} (α) + {sin}^{2} (α)) \cdot sin (θ)

= 1 \cdot sin (θ)

Apilex aktiv_icon

18:35 Uhr, 10.11.2017

es gilt auch schon

sin (θ) = sin ((θ + α) - α) = sin (θ + α) \cdot cos (α) - cos (θ + α) \cdot sin (α)

mit diesem Additionstheorem

: sin (x - y) = sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y)

mit

x = (θ + α)

und

y = α

Alexander93 aktiv_icon

19:02 Uhr, 10.11.2017

Jetzt geht mir ein Licht auf! Super vielen Dank Apilex und Bummerang für eure Hilfe, die vorallem so schnell kam.

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