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Übergangsmatrix anpassen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Umrechnung, Wurzel

 
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Flying-Moped

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13:06 Uhr, 12.03.2023

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Hallo,

ich habe eine Übergangsmatrix die den Übergang von einem Tag zum nächsten einer Population abbildet. Die Population hat 7 verschiedene Stadien und ist daher eine 7x7 Matrix.


%development rates of each stage
dpreg =0.172;
dprL1 =0.217;
dprL2 =0.313;
dprL3 =0.222;
dprL4 =0.135;
dprPu =0.099;
%relative mortality rates of each stage
rmreg =0.017;
rmrL1 =0.060;
rmrL2 =0.032;
rmrL3 =0.022;
rmrL4 =0.020;
rmrPu =0.020;
rmrAd =0.027;

B1= [1-(dpreg+rmreg),0,0,0,0,0,0;
dpreg,1-(dprL1+rmrL1),0,0,0,0,0;
0,dprL1,1-(dprL2+rmrL2),0,0,0,0;
0,0,dprL2,1-(dprL3+rmrL3),0,0,0;
0,0,0,dprL3,1-(dprL4+rmrL4),0,0;
0,0,0,0,dprL4,1-(dprPu+rmrPu),0;
0,0,0,0,0,dprPu,1-rmrAd];

Die Werte in der Matrix die die Sterberate und die Übergänge zwischen den Stadien beschreiben sind wie gesagt pro Tag. Jetzt muss ich die Berechnung auf einen zehntel Tag bringen. Das heißt eine multiplikation der aktuellen Matrix soll das gleiche ergeben wie die neue Matrix 10 mal mit dem neuen Ergebnis multipliziert. Mir wurde von meiner Professoring die 10. Wurzel empfohlen. Das funktioniert aber leider nicht im Zusammenhang mit der Übergangsmatrix.


Hat jemand eine Idee und könnte mir helfen?

Grüße Dominik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

16:48 Uhr, 13.03.2023

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Du redest von Übergangs-Raten statt von Übergangs-Wahrscheinlichkeiten. Daher gehe ich davon aus, dass du hier über einen zeitstetigen Prozess redest, d.h.

yʹ(t)=A⋅y(t) mit Anzahlvektor y(t) zur Zeit t.

Die Lösung für Zeitintervall t ergibt dann y(τ+t)=eA⋅t⋅y(τ).

Du denkst nun, dass dein B1 die Übergang-Wahrscheinlichkeitsmatrix für den Zeitraum von t=1 Tag ist, also B1=eA mit unbekanntem A? Das denke ich nicht: Tatsächlich entsprechen die angegebenen Raten einer Übergangs-Matrix

Bt = [1-(dpreg+rmreg)*t,0,0,0,0,0,0;
dpreg*t,1-(dprL1+rmrL1)*t,0,0,0,0,0;
0,dprL1*t,1-(dprL2+rmrL2)*t,0,0,0,0;
0,0,dprL2*t,1-(dprL3+rmrL3)*t,0,0,0;
0,0,0,dprL3*t,1-(dprL4+rmrL4)*t,0,0;
0,0,0,0,dprL4*t,1-(dprPu+rmrPu)*t,0;
0,0,0,0,0,dprPu*t,1-rmrAd*t];

für einen infinitesimal kleinen positiven Zeitraum t. Das steht dann in Einklang mit Bt=eA⋅t, wobei

A= [-(dpreg+rmreg),0,0,0,0,0,0;
dpreg,-(dprL1+rmrL1),0,0,0,0,0;
0,dprL1,-(dprL2+rmrL2),0,0,0,0;
0,0,dprL2,-(dprL3+rmrL3),0,0,0;
0,0,0,dprL3,-(dprL4+rmrL4),0,0;
0,0,0,0,dprL4,-(dprPu+rmrPu),0;
0,0,0,0,0,dprPu,-rmrAd];

ist. Man könnte A zu einer stochastischen Q-Matrix der Dimension 8x8 ergänzen, wenn man zusätzlich den absorbierenden Zustand "tot" ergänzt:

Q=(-0,18900000000,172-0,27700000000,217-0,34500000000,313-0,24400000000,222-0,15500000000,135-0,11900000000,099-0,02700,0170,0600,0320,0220,0200,0200,0270)

Dann bekommt man mit Pt=eQt eine echte Markovsche Ü-Matrix für die Zeitdauer t.