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Umfang eines Sportplatzes mit möglichst großer rechteckiger Fläche
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 12:28 Uhr, 15.04.2005  |
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Hallo. Ich hab hier n Problem. Und zwar habe ich eine Aufgabe: Eine Laufbahn um einen Sportplatz besteht aus einem Rechteck (in der Mitte) und daneben jeweils zu Halbkreisen. (Es wird wohl jeder wissen, welche Form die Laufbahn um den Platz hat) Der Umfang der Laufbahn beträgt 400m. Welche Länge müssen die beiden geraden Strecken a (beide gleich lang) haben damit ein möglichst großer Flächeninhalt des Rechtecks entsteht. Soweit die Aufgabe. Ich habe jetzt durch probieren herausgefunden, wenn man alle 4 vorhandenen Streckenteile (die zwei gerade und die beiden Kreisbögen) auf die gleiche Länge aufteilt (also 100m pro Strecke) bekommt man den größtmöglichen Flacheninhalt des Rechtecks von 6366,197724m² raus. Aber warum ist das so? Ich habe keine Formel dafür aufstellen könnnen oder ähnliches. Oder gibt es da eine Gegebenheit, die mir entfallen ist weil ich zuletzt vor 5 Jahren Mathe gemacht habe. Ich habe die Aufgabe in einem Mathebuch gefunden, als ich ein wenig Nachhilfe gegeben habe. Das frustriert ganz schön, wenn man auf sowas nicht kommt. Und ich bin mir ganz sicher, dass das irgendwas ganz einfaches ist, wo ich nur nicht drauf komme. Formel in meinem Fall dann: U ist der Umfang der beiden Kreisbögen(die beiden zusammen sind ja dann ein Kreis) und b ist gleichzeitig die Höhe des Rechtecks, sowie der Durchmesser der Kreisbögen. U = 200 weil ich die 400meter Gesamtumfang ja in 4 gleiche Teile geteilt habe. Bitte helft mir, sonst find ich keine ruhige Nacht mehr. Danke MFG Lars Witteler |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren | |
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Hallo Lars, Also, das ist so: Extremalbedingung: A(a,r)=2ar soll maximal werden (a=Seitenlängen des Rechtecks, r=Radius) Nebenbedingung: 22 |
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Hallo Lars, Also, das ist so: A(a,r) soll maximal werden (a=Seitenlängen des Rechtecks, r=Radius) U=2*Pi*r+2a=400 =>a=200-Pi*r A(r)=(Pi*r)*(200-Pi*r) =200Pi*r-(pi)^2*r^2 Das ableiten und gleich null setzten, dann bekommt man r=50 und a=42,92 Das Spielfeld ist dann am größten, wenn der Radius 50 m und die Strecken 42,92 m betragen. Hoffentlich hilft das! |
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