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Umformung Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Differantialrechnung, Integration, Umformen

anonymous

08:46 Uhr, 14.08.2019

Ich verstehe den Umformungsschritt nicht (siehe Bild). Mir ist klar dass sich an der Formel an sich nichts ändert, da dt'/dt'=1 gibt, aber wieso darf ich anstatt P(t0) t0 und statt P(t) t schreiben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

09:12 Uhr, 14.08.2019

Links

P (\dots)

und rechts

\vec{r}

ergibt in dieser Kombination wenig Sinn. Wenn schon, dann kann nur

\int_{\vec{r} (t_{0})}^{\vec{r} (t)} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \int_{t_{0}}^{t} \vec{F} \cdot \frac{d \vec{r}}{d t'} d t'

gemeint sein, dabei beschreibt

\vec{r} (t')

für

t_{0} \leq t' \leq t

die Kurve, über die links integriert wird, und

\cdot

ist hier das Skalarprodukt.

anonymous

09:17 Uhr, 14.08.2019

Hallo, danke für deine Antwort. Mir geht es vor allem darum wieso ich t0 anstelle von P(t0) hinschreiben darf, also warum ich das wechseln darf? Bitte eine möglichst einfache Erklärung:-)

anonymous

09:17 Uhr, 14.08.2019

Hallo, danke für deine Antwort. Mir geht es vor allem darum wieso ich t0 anstelle von P(t0) hinschreiben darf, also warum ich das wechseln darf? Bitte eine möglichst einfache Erklärung:-)

HAL9000

09:23 Uhr, 14.08.2019

Das Kurvenintegral links (Integration über eine Kurve in

ℝ^{2}

oder

ℝ^{3}

) wird in dieser Gleichung in ein Integral über ein (Zeit-)Intervall transformiert. Damit ändern sich natürlich auch die Endpunkte der Integrale. Ist wie bei einer normalen IntegralSubstitution, sowas kennst du doch?

Genauer (d.h. unter Nennung aller Funktionsargumente) müsste man eigentlich schreiben

\int_{\vec{r} (t_{0})}^{\vec{r} (t)} \vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{r} = \int_{t_{0}}^{t} \vec{F} (\vec{r} (t')) \cdot \frac{d \vec{r} (t')}{d t'} d t'

.

siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral (Abschnitt "Wegintegral zweiter Art").

Und nochmal: Räume diese widersprüchliche Symbolik

P (\dots) \leftrightarrow \vec{r} (\dots)

auf.

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