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Unbekannte Winkel in Trigonometrie/Optik
Universität / Fachhochschule
Tags: Snelliussches Brechungsgesetz, Trigonometrie
 
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Hallo zusammen, ich sitze hier seit einigen Stunden an einem Problem, das ich nicht lösen kann. Es wäre super, wenn das jemand weiß und mir helfen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus. Es geht um das Berechnen der Winkel von einem Lichtstrahl der über der Wasseroberfläche ausgesandt wird. Dieser trifft an einer unbekannten Stelle das Wasser und wird nach dem Snelliussches Brechungsgesetz gebrochen. n_1*sin(α)= n_2*sin(β) Wobei und ist. Der Punkt der, vom gebrochenen Lichtstrahl getroffen werden soll, liegt cm unterhalb der Wasseroberfläche. Der horizontale Abstand vom Punkt über dem Wasser und dem Punkt unter dem Wasser liegt bei . Die mm Angaben auf dem Bild sind zwar nicht exakt den Angaben, die ich grade gemacht habe aber im Verhältnis sollte es passen.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, würde es dir helfen, wenn du wüsstest, wie weit der Unterwasserpunkt horizontal von der "unbekannten Stelle" entfernt ist? Mfg Michael |
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Hallo Michael, wenn ich beispielsweise die Strecke horizontal zum Lichtpunkt bis zum Lot hätte oder von dem Punkt unterhalb des Wassers bis zum Lot könnte ich es ausrechnen. sin(α)= (Gegenkathtete )/√(Ankathete²+ Gegenkathete^2 ) Anschließend noch der (α) und ich habe den ersten Winkel. Das ist alles kein Problem. Aber wie komme ich allgemein auf einen der beiden längen a und oder b? MfG Kosmo |
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Hallo, nun, nenne diese Strecke , bestimme (jeweils in Abhängigkeit von ) die Hypotenusen in den beiden rechtwinkligen Dreiecken und auch die Sinuswerte der beiden Winkel. Dann hast du die Gleichung , welche sich algebraisch und exakt lösen lässt. Eine der beiden Lösungen liegt außerhalb des Intervals , sodass sie im Anwendungsfall unsinnig ist. Die andere beträgt (in meinem Fall) . (So viel hat wxmaxima jedenfalls ausgespuckt. Bei mir ist die horizontale Entfernung vom Unterwasser gelegenen Punkt bis zum Punkt, an dem der Lichstrahl an der Wasseroberfläche gebrochen wird.) Mfg Michael PS: Übrigens ein Standardfall für DAS mathematische Vorgehen (zumindest in einfach gelagerten Fällen): * Suche eine hilfreiche Größe und nenne sie . * Stelle eine Gleichung zur Lösung von auf. * Löse die Gleichung. |
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Also ja, wenn wir den Wert so nehme und den Winkel entsprechend für das große rechtwinklige Dreieck berechne komme ich auf ca. °. Bis hier hin passt alles doch das bedeutet auch das der Austrittswinkel nun knapp 18° hat und damit ist das Ziel verfehlt. Und du hast absolut recht mit der Aussage „bestimme die Hypotenusen in den beiden rechtwinkligen Dreiecken“. Ich habe nur absolut keine Ahnung wie. Die Gegenkathete im großen rechtwinkligen Dreieck ist bekannt mm. Aber nicht der Winkel Alpha oder Beta und auch die Ankathete kenne ich nicht. Gleiches Problem mit dem rechtwinkligen Dreieck unter der Wasseroberfläche. 1,33=(Hypotenuse1/(Gegenkathete1))/((Hypotenuse2)/(Ankathete2))= Funktioniert auch nicht. Will ich die Hypotenuse so errechnen komme ich auch nicht weit Hypotenuse=sin(α)/Gegenkathete Hypotenuse=cos(α)/Ankathete tan(α)=Ankathete/Gegenkathete MfG Kosmo  |
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Wenn ich (wie michaL) wähle: x=Gegenkathete (horizontal) ; 50=Ankathete ; = Hypothenuse (unter Wasser) 300-x=Gegenkathete ; 100=Ankathete ; = Hypothenuse (über Wasser) und wende die Formel an, erhalte ich eine Gleichung 4. Grades (nicht bi-quadratisch). Da braucht man wirklich ein Programm zum Berechnen. Zu Beginn hatte ich die falschen Winkel benutzt und so mit gestartet. Hier entsteht nur eine quadratische Gleichung, d.h. man kann sie "per Hand" lösen, und es kommt dasselbe Ergebnis raus, das michaL angegeben hat. Leider habe ich nicht rausgefunden, wie man von auf kommt. |
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Die andere beträgt (?? in meinem Fall ??) . (So viel hat wxmaxima jedenfalls ausgespuckt. Bei mir ist die horizontale Entfernung vom Unterwasser gelegenen Punkt bis zum Punkt, an dem der Lichstrahl an der Wasseroberfläche gebrochen wird.) Also ist dein das, was ich in meiner Zeichnung genannt habe?  Ich komme mit meinem Programm allerdings auf Im Anhang die 'Rechnung" Auch der winkellose Ansatz führt auf die gleichen Längen   |
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Hallo, ich weiß nicht, was schief gelaufen ist. Ich habe mit den von mir erhaltenen Daten GeoGebra befüttert und erhalte sinnvolle Daten. (Siehe Bild unten) Ich habe NICHT mit gerechnte. (Vom OP kamen 1,33. Ich war zwar versucht, das zu tun, habe mich aber an die Werte gehalten.) Bei mir heißen die Winkel beim Brechungspunkt bzw. und nicht die Komplementärewinkel. Der Wert ist als eingetippt worden und hat den gewünschten Wert. Mfg Michael PS: Jetzt (erst) fällt es mir auf: Du (Roman-22) rechnest entweder mit den falschen Winkeln oder der falschen WInkelfunktion (Kosinus satt Sinus), oder ich tue das. Ich bin kein Physiker und weiß daher nicht, welcher Winkel für das Brechungsgesetz herangezogen wird. wikipedia ( de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz und speziell de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz#/media/Datei:Snellius-Brechungsgesetz_(gespiegelt).svg ) scheinen mir recht zugeben... @Doerrby: Ich habe eine nur quadratische Gleichung erhalten.  |
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mit der Aufstellung der Gleichung und das Ersetzen von und zu a/wurzelaus a² 100² = … komme ich noch klar. Wie du es dann aber schaffst aus einer Gleichung mit 2 Unbekannten a und zu errechnen verstehe ich leider nicht mehr. Ich möchte deine Zeit und Geduld aber nicht überstrapazieren. Könnt ihr mir sagen, was ich wissen muss um die Matrize, nehme ich mal an, so zu lösen wie du es gemacht hast. Und trotz dessen das dies schon verdammt gut aussieht ist es leider nicht ganz richtig. Liegt aber denke ich nur daran das hier der Winkel Alpha (rechtes Dreieck) an den beginn des Lichtstrahls gesetzt wurde. Dadurch ergibt sich ein Einfallwinkel von 21,69° und ein Ausfallwinkel von knapp 16°, womit das Ziel verfehlt werden würde.  |
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Hallo, meine Geduld wird dadurch nicht strapaziert. Ich habe in meiner letzten Antwort ja eingeräumt, dass ich nicht weiß, wo die Winkel bzw. zu liegen haben. > Wie du es dann aber schaffst aus einer Gleichung mit 2 Unbekannten a und b zu errechnen verstehe ich leider nicht mehr. Ich habe keine zwei Unabhängige(!). errechnet sich aus und umgekehrt, da gilt. Sie sind also nicht unabhängig (voneinander). Ich habe folgende Rechnung aufgestellt (s.u.): Mfg Michael   |
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Ich bin nur noch am Verzweifeln. ich habe zu Anfang deine Formel genommen und sie ist absolut logisch und stimmig, bis auf eine Sache aber dazu gleich mehr. Ich stelle die Formel nach um und komme auf aber es passt nicht. Daraufhin schaue ich mir an ob was mit der Formel selbst nicht in Ordnung ist und ja, die Betrachtungsweise von Alpha und Beta kann ich nicht so lassen. Denn Alpha muss der Einfallswinkel sein und Beta der Ausfallwinkel zum Lot und nicht zur horizontalen. Zumindest wenn ich mich an das Snelliussches Gesetz erstmal halten möchte. . wiederum das des kleinen Dreieck sein muss, entsprechend lautet die Formel dann Sin (b) Wurzel aus (x² Jetzt noch mal gerechnet bis zu einer Gleichung 4 grades und die KI rechnen lassen und Es passt super Dachte ich auf die Frage wie man den eine Gleichung 4 grades löst spuckt die KI als nächstes für die gleiche Formel aus und dann ist die Gleichung nur noch komplex lösbar. Das ist meine Gleichung, nachdem ich sie verändert habe √(x^2+50)/50= 100/√((300-x Und ausgerechnet: Sollte ich bis hier hin alles richtig gemacht haben wäre jetzt meine Frage: Wie löst man Gleichungen 4 Grades? Nur damit man die Formel etwas besser lesen kann habe ich noch mal ein Bild gemacht.  |
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Ich bin kein Physiker und weiß daher nicht, welcher Winkel für das Brechungsgesetz herangezogen wird. wikipedia ( de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz und speziell de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz#/media/Datei:Snellius-Brechungsgesetz_(gespiegelt).svg ) scheinen mir recht zugeben... Ich denke nicht, dass Tante Wiki dir Recht gibt. ;-) Zum einen steht dort doch, dass die Winkel zum Lot hin gemessen werden (und nicht Einfalls- Ausfallswinkel zur Grenzfläche sind). Und die Zeichnung zeigt das ja auch, wobei zu beachten ist, dass die Grenzfläche zwischen den beiden Medien dort senkrecht gezeichnet ist, bei meiner Skizze und auch jener der Fragestellerin aber waagerecht. Aber das zieh1t sich ja schon durch den gesamten Thread hier, dass ständig mit Bezeichnern hantiert wird, ohne in einer Skizze klarzustellen, welche Winkel und Längen damit konkret gemeint sind. Das war eigentlich der Hauptgrund, warum ich hier mit meiner beschrifteten Zeichnung und meinen Ergebnissen dazwischengegrätscht bin. Jetzt ist die Fragestellerin (hoppla, jetzt wird plötzlich ein männlicher Avatar angezeigt) am Zug um endlich einmal Klarheit zu schaffen und mit einer vollständig beschriftete Skizze festzulegen, von welchen Bezeichnern wir ab jetzt ausgehen sollen, denn sonst drehen wir uns weiter sinnlos im Kreis. Was den versus meinen anlangt, so is der Brechnungsindex von Wasser etwa und jener von Luft . Wir müssten demnach also mit rechnen. Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Brechungsindex#Brechungsindex_der_Luft_und_anderer_Stoffe ] Aber die Unterschiede zu den von uns verwendeten Werten bzw. werden das numerische Ergebnis nicht sonderlich stark beeinflussen. |
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Hallo, nur nicht den Mut verlieren. Ich schrieb schon, dass ich kein Physiker bin. Ich räume daher ein, dass ich evtl. schon deswegen Fehler gemacht haben könnte. Einer davon ist der, dass ich vielleicht de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz#/media/Datei:Snellius-Brechungsgesetz_(gespiegelt).svg falsch interpretiere. Bei genauerem Hinsehen bemerke ich, dass ich wohl genau das getan habe. Dort werden (wie ich jetzt erst bemerke) und als Winkel verstanden, die die Lichstrahlen mit dem Lot einschließen. (Das hatte ich auch beim zweiten und dritten Hinsehen nicht bemerkt.) Insofern solltest du dich an die Antwort von Roman-22 halten, der das Brechungsgesetz richtig gehandhabt zu haben scheint. @Doerrby: Ich war im Irrtum. Wenn ich den Weg so gehe, wie ich selbst vorgeschlagen habe, lande ich auch bei einer Gleichung 4. Grades. Das ist zwar auch noch exakt machbar, aber sehr aufwendig. (Müsste nochmal schauen, wie ich da herangehen müsste/würde.) Vielleicht reicht ja schon ein Näherungsverfahren?! Mfg Michael |
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@Kosmo1 Auch ich bin kein Physiker, aber ich frage mich, wie du Uhr, auf die Gleichung  kommst. Ich gehe davon aus, dass du mit jene Strecke bezeichnest, die ich in meiner Zeichnung genannte hatte. Deine Gleichung stellt, soweit ich das sehe, ja dar und das hat mit der laut Snellius geltenden Gleichung ja recht wenig zu tun. Meiner Meinung nach sollte es daher  lauten und mit anstelle meiner vorhin verwendeten kommt da, wie man sieht, halt ein um rund mm größerer Wert raus. Die Gleichung vierten Grades, auf die man beim Auflösen der Wurzeln stößt, ist und diese hat abgesehen von der Lösung mit noch eine weitere reelle, sowie noch ein Paar konjugiert komplexer Lösungen. Und "zu Fuß" möchte ich eine solche Gleichung nicht lösen müssen, auch wenn das möglich ist. Ich habe mal spaßhalber verallgemeinert und die Medien Luft->Wasser hab ich unverändert belassen . Wolfram Alpha liefert dazu auch die Lösungen - viel Vergnügen: shorturl.at/euXv5 Ein klein wenig übersichtlicher wird es, wenn man das Verhältnis der Brechungsindizes auch noch verallgemeinert shorturl.at/0ZONr EDIT: Bemerke eben, dass mir Onkel Wolfram mein fehlendes "b" beim Ausschreiben von großzügig verziehen hat - nett! |
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Du hast recht meine Annahme das der Winkel Alpha zwischen Wasseroberfläche und der Hypotenuse des rechten Dreiecks liegt ist Blödsinn. Der Winkel Alpha befindet sich demnach zwischen der Hypotenuse des rechten Dreiecksund dem Lot. Die Formel führt mich am Ende immer noch zu einer Gleichung 4 grades, aber auch wenn ich immer noch zu blöd bin, so eine Gleichung zu lösen, ist es WolframAlpha nicht. Ich komme nun auf einen Winkel Alpha von ca. 68,27° und einem Winkel Beta von ca. 44,3° Und ich verstehe, wenn du ein bisschen sauer bist das ich die Winkel nicht von Anfang an richtig beschriftet habe. Daher jetzt richtig siehe Bild. Ich möchte nochmal allen danken die hier mit gemacht haben und ganz besonders ein Dank an Roman22 Einen schönen Sontag Abend noch. Ich sehe grade Roman du hast noch eine Antwort geschrieben und etwas andere Winkel als ich aber jetzt grade ist mir das egal  |
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Du hast recht meine Annahme das der Winkel Alpha zwischen Wasseroberfläche und der Hypotenuse des rechten Dreiecks liegt ist Blödsinn. Der Winkel Alpha befindet sich demnach zwischen der Hypotenuse des rechten Dreiecksund dem Lot. Die Formel führt mich am Ende immer noch zu einer Gleichung 4 grades, aber auch wenn ich immer noch zu blöd bin, so eine Gleichung zu lösen, ist es WolframAlpha nicht. Ich komme nun auf einen Winkel Alpha von ca. 68,27° und einem Winkel Beta von ca. 44,3° Und ich verstehe, wenn du ein bisschen sauer bist das ich die Winkel nicht von Anfang an richtig beschriftet habe. Daher jetzt richtig siehe Bild. Ich möchte nochmal allen danken die hier mit gemacht haben und ganz besonders ein Dank an Roman22 Einen schönen Sontag Abend noch. Ich sehe grade Roman du hast noch eine Antwort geschrieben und etwas andere Winkel als ich aber jetzt grade ist mir das egal  |
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Der letzte Satz wurde nicht mit gesendet also jetzt richtig. Ich mache, wenn ich Zeit habe, darüber Gedanken für mich reicht es heute. |
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Die geringfügigen Unterschiede bei den Winkeln, welche ich in meiner ersten Antwort genannt hatte, rühren sicher daher, dass ich damals anstelle von den etwas größeren Wert verwendet hatte. Tatsächlich hängt der Wert aber von der genauen Luftbeschaffenheit, der Wassertemperatur, etc. ab und kann daher ohnedies nur als Näherungswert gelten. Wie schon früher geschrieben kommt man mit den Brechungsindizes für Luft und Wasser, welche man im Netz findet (Quelle hab ich damals angegeben) auf den Wert . |
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