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Uneigentliches Integral - Residuensatz - Fourier

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: fourier, Integration, Residuensatz

roggenfaenger aktiv_icon

18:34 Uhr, 21.01.2016

Hallo,

ich finde keinen richtigen Ansatz für diese Aufgabe:

Berechnen Sie das reelle uneigentliche Integral:

\int_{0}^{\infty} \frac{c o s (ω t)}{(1 + t^{2})^{2}} d t

- mit Hilfe des Residuensatzes
- zunächst soll das Integral in ein Integral des Fourier-Typs umgeschrieben werden

Wie forme ich denn ein Integral zu einem Integral des Fourier-Typs um? Muss ich zuerst das Integral berechnen? Oder gehe ich davon aus, dass:

\frac{c o s (ω t)}{(1 + t^{2})^{2}} = f (t)

ist.

und dann ist die Fourier-Transfomierte:

F (f) (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{c o s (ω t)}{(1 + t^{2})^{2}} \cdot e^{- i t x}

?

Tipp in der Aufgabe: "Achten Sie dabei auf die Integrationsgrenzen und nutzen Sie eventuelle Symmetrien aus...."

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

20:09 Uhr, 21.01.2016

Drücke Kosinus durch Exponenten aus.
Kuck hier die Beispiele, wie man mit dem Residuensatz reelle Integrale berechnet:
http//www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex-d-11.pdf
Insbesondere das Beispiel 11.6

roggenfaenger aktiv_icon

20:32 Uhr, 22.01.2016

Ok, habe mal so weitergemacht und noch etwas in einem Buch gefunden:

\int_{0}^{\infty} \frac{c o s (w t)}{(1 + t ²) ²} d t = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{c o s (w t)}{(1 + t ²) ²} d t

Dies habe ich aus einem Lehrbuch:

Setze:

f (z) = \frac{1}{2} \frac{e^{i w z}}{(1 + t^{2})^{2}}

Dann wird

\frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{c o s (w t)}{(1 + t ²) ²} d t = - 2 π I m \sum R e s (f (z), z_{k})

Nun müssen laut Buch nur die Residuen der Singularitäten der oberen Halbebene berücksichtigt werden (warum?) (*)

Weiter:
Der Nenner hat zwei doppelte Nullstellen

z_{1, 2} = \pm i

Ich würde nun nur das Residuum für

z_{1} = i

berechnen. Und das Integral nach obiger Formel (dessen Herleitung mir nicht klar ist...) berechnen.

Richtig?

DrBoogie aktiv_icon

20:44 Uhr, 22.01.2016

"Nun müssen laut Buch nur die Residuen der Singularitäten der oberen Halbebene berücksichtigt werden (warum?)"

Folgt aus der Herleitung.

"dessen Herleitung mir nicht klar ist"

Dann frag.

roggenfaenger aktiv_icon

13:59 Uhr, 23.01.2016

Frage: Wieso müssen nur die Residuen der Singularitäten der oberen Halbebene berücksichtigt werden?

Hier mein Ergebnis:

R e s (f (z), i) = lim_{n \to i} (z - i)^{2} \frac{e^{i w z}}{(z - i)^{2} (z + i)^{2}} = lim_{n \to i} \frac{e^{i w z}}{z^{2} + 2 i z - 1} = \frac{e^{w}}{- 4}

Also:

\int (. . . .) = - 2 π I m R e s (f (z), z_{1} = i) = (\frac{1}{2}) \cdot - 2 π \cdot \frac{e^{- w}}{- 4} = \frac{π}{4 e^{w}}

WA liefert: www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%5Cfrac%7Bcos%28w*t%29%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%5E2%7D+dt%29+from+0+to+%5Cinfty

woher kommt das

(∣ w ∣ + 1)

? Sieht jemand meinen Fehler?

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14:12 Uhr, 23.01.2016

"Wieso müssen nur die Residuen der Singularitäten der oberen Halbebene berücksichtigt werden?"

Weil der Integrationsweg in der oberen Halbebene liegt. Ich meine den Weg über

[- R, R]

und dann über den Halbkreis.
Du sollst schon die ganze Methode verstehen und nicht bloß blind das Ergebnis anwenden.

Auf die andere Frage antworte ich später.

DrBoogie aktiv_icon

17:44 Uhr, 23.01.2016

Deine Formel für Residuum ist falsch, richtige Formel für Residuum im Pol 2. Ordnung kannst Du von der allgemeinen Formel (Pol n-ten Ordnung) von hier ableiten: de.wikipedia.org/wiki/Residuum_%28Funktionentheorie%29

roggenfaenger aktiv_icon

15:43 Uhr, 25.01.2016

Danke!
Mit

R e s (f, i) = (lim_{n \to i} \frac{d}{d z} ((z - i)^{2} \frac{e^{i w z}}{(z - i)^{2} (z + i)^{2})})

habe ich das richtige Ergebnis erhalten :-).

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