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Unendliche Reihe mit 2 Variablen berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Summe, Unendliche Reihe, Wert berechnen

andre2180 aktiv_icon

21:00 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

ich weiß einfach nicht was ich hier tun soll. Die Aufgabe lautet eine unendliche Reihe zu berechnen:

Summe n->unendlich

n

ungleich

m : \frac{1}{n^{2} - m^{2}}

m

fest gewählt und

m \geq 1

Ich habe mir bereits überlegt das mit Partialbruchzerlegung zu machen nur kann das damit funktionieren? Oder kann ich einfach ein

m

fest wählen damit dann die Zerlegung machen und das mittels Induktion beweisen?

Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

Partialbruchzerlegung ist die richtige Idee.
Mach mal!

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

21:27 Uhr, 18.11.2013

nur für die partialbruchzerlegung benötigt man doch die polynomdivision und wie soll das da gehen wenn ich 2 variablen habe?

michaL aktiv_icon

21:29 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

braucht man nicht, nur die Zerlegung von

m^{2} - n^{2}

in ein Produkt.
Wenn du das nicht weißt, dann hilft dir vielleicht, es als

a^{2} - b^{2}

zu schreiben und an die Schulzeit zurückzudenken.

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

21:34 Uhr, 18.11.2013

Das wäre ja die dritte bin. Formel also

\frac{1}{n^{2} - m^{2}} = \frac{1}{n - m} \cdot \frac{1}{n + m}

michaL aktiv_icon

21:37 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

was so ein Variablentausch so alles ausmachen kann.

Nun die Partialbruchzerlegung, dann bist du auch schon fast fertig.

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

21:48 Uhr, 18.11.2013

wäre das dann

\frac{A}{n + m} \cdot \frac{B}{n - m}

michaL aktiv_icon

21:50 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

nun, eigentlich ist das nur der Ansatz.
Die Partialbruchzerlegung soll dir gerade

A

und

B

liefern.
Aber: Sieht gut aus, weitermachen!

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

22:02 Uhr, 18.11.2013

leider komme ich da nicht weiter

michaL aktiv_icon

22:16 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

bedenke, dass

n

veränderlich ist,

m

als fest angesehen werden kann.

A

und

B

dürfen also von

m

, nicht aber vom

n

abhängen.

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

22:26 Uhr, 18.11.2013

ja, das ist mir klar dass

m

fest ist nur weiß ich nicht wie ich nun konkret die Partialbruchzerlegung durchführe, ich habe dies auch nicht vorher gemacht

michaL aktiv_icon

22:42 Uhr, 18.11.2013

Hallo,

tja, dann könntest du entweder Beispiele für

m

rechnen, so lange, bis du die Lösung siehst.
Oder auch googlen. Die Seite von Arndt Brünner gestattet oben erwähnte Beispiele rechnen zu lassen. Erklärt wird dort auch.

Du schaffst das schon...

Mfg Michael

anonymous

23:49 Uhr, 18.11.2013

Tip:
Nicht

\frac{A}{n + m} \cdot \frac{B}{n - m}

sondern

\frac{A}{n + m} + \frac{B}{n - m}

:-)

anonymous

00:00 Uhr, 19.11.2013

Und bitte, du müsstest uns noch verraten, wo die Summe beginnt.
Du sagst "Summe n->Unendlich"
Aber was steht unter dem Summen-Zeichen?
Vielleicht (eine Vermutung): Summe von

n = m + 1

bis n->Unendlich ?

michaL aktiv_icon

06:45 Uhr, 19.11.2013

Hallo,

uups, hätte mir ruhig auffallen dürfen...
Na ja, mit der angegebenen Seite sollte sich auch das von allein geklärt haben.

Mfg Michael

andre2180 aktiv_icon

10:10 Uhr, 19.11.2013

die Summe geht von

n = 0

bis unendlich. Das

M

ist ein Element der natürlichen Zahlen und ist fest gewählt. Das enthaltene Skript auf der arndt bruenner homepage kann keine 2 Variablen gleichzeitig verarbeiten.

anonymous

12:14 Uhr, 19.11.2013

Also nach meinem Verständnis:
wenn

n

von 0 bis Unendlich geht, dann nimmt es auch irgendwann mal den Wert

m

an.
Denn sowohl

n

als auch

m

sind natürliche Zahlen.
Wenn aber

n = m

ist, dann wird der Nenner NULL.
Das heißt der Summand für

n = m

ist eine Division durch Null und geht somit gegen Unendlich.
Wenn aber ein Summand gegen Unendlich geht, dann ist die ganze Summe Unendlich!

Das wäre eine Trivial-Lösung.
Ist das wirklich so gemeint??

andre2180 aktiv_icon

13:34 Uhr, 19.11.2013

hab doch in meinem ersten post geschrieben, dass unter der summe noch

n

ungleich

m

steht.

anonymous

15:06 Uhr, 19.11.2013

Also wie darf ich das dann verstehen?
Vielleicht

n

geht von

n = 0

bis

n \to

Unendlich, und ausgenommen

n = m

andre2180 aktiv_icon

15:53 Uhr, 19.11.2013

genau. weil

m

bleibt ja ein fester wert und die summe

m = n

existiert nicht

anonymous

18:30 Uhr, 19.11.2013

Falls du jetzt noch Unterstützung erwarten solltest, solltest du signalisieren, wie weit du mit der Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme gekommen bist,
bzw. wo du steckst und hängst.
Ansonsten, viel Spaß!

andre2180 aktiv_icon

20:37 Uhr, 19.11.2013

ich bin momentan bei dem scritt

\frac{A}{n + m} + \frac{B}{n - m}

und weiss nicht was ich konkret machen soll.

anonymous

00:04 Uhr, 20.11.2013

Du bist vermutlich immer noch bei der Partialbruchzerlegung:

\frac{1}{n + m} / (n - m) = \frac{A}{n + m} + \frac{B}{n - m}

Die Partialbruchzerlegung ist dir geglückt, wenn du die Koeffizienten A und

B

errechnet hast.
Hauptnenner bilden:

\frac{1}{n + m} / (n - m) = A \cdot \frac{n - m}{n + m} / (n - m) + B \cdot \frac{n + m}{n + m} / (n - m)

\frac{1}{n + m} / (n - m) = \frac{A \cdot n - A \cdot m + B \cdot n + B \cdot m}{n + m} / (n - m)

Koeffizientenvergleich:

1 = A \cdot n - A \cdot m + B \cdot n + B \cdot m

1 = n \cdot (A + B) + m \cdot (B - A)

michaL hatte dir schon vor rund

24 h

den Tip gegeben:
"bedenke, dass

n

veränderlich ist,

m

als fest angesehen werden kann. A und

B

dürfen also von

m,

nicht aber vom

n

abhängen."
Das soll heißen: der Faktor bei "n" soll Null werden, damit die Gleichung von

n

unabhängig wird. Also:

1 = n \cdot 0 + m \cdot (B - A)

Also muss doch gelten:

(A + B) = 0

und:

1 = n \cdot 0 + m \cdot (B - A) = m \cdot (B - A)

Mit diesen beiden Gleichungen kannst du die beiden Unbekannten

(A, B)

bestimmen.
Wenn du folgendes raus hast, dann hast du es gleich wie ich:

A = - \frac{1}{2 \cdot m}

B = \frac{1}{2 \cdot m}

Das kannst du in die Ansatzgleichung für deine Partialbruch-Gleichung einsetzen:

\frac{1}{n + m} / (n - m) = \frac{A}{n + m} + \frac{B}{n - m} = - \frac{1}{2 \cdot m \cdot (n + m)} + \frac{1}{2 \cdot m \cdot (n - m)}

\frac{1}{n + m} / (n - m) = \frac{1}{2 \cdot m} \cdot [\frac{1}{n - m} - \frac{1}{n + m}]

Um dich zu vergewissern, dass das bis hierher auch stimmt, mach auf jeden Fall eine Kontrolle!

So, die Partialbruchzerlegung hätten wir dir hiermit vorgekaut.
Wie geht's weiter?
Ein Tip (Teleskopsumme) war ja schon angesprochen.
Viel Erfolg!

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