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Unendliche Wurzel und unendlicher Kettenbruch
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo liebe Mathechecker, wir hängen an folgender Aufgabe: Berechne die Werte der unendlichen Wurzel des unendlichen Kettenbruchs , indem Du sie als Grenzwert von (rekursiv definierten) Folgen schreibst und dann deren Konvergenz nachweist. Die rekursive Definition der Folgen haben wir ja, aber weiter kommen wir nicht... HILFE!! :) Liebe Grüße und vielen Dank! Mona², Cathrin und Elena |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
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konvergiert gegen ca. 1,618 (Irrationale Zahl) weitere Erläuterungen unter de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt |
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| und wie beweise ich das? |
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Hallo! Bei der ersten Folge benutze den Hauptsatz über beschränkte und monotone Folgen. Beweise also, dass die Folge a(n) steigend ist und beschränkt - das ist nicht kompliziert. Bei der zweiten Folge ist es schon etwas komplizierter. Die Folge b(n) ist nämlich nicht monoton. Damit du nicht formal arbeitest, musst du die Konvergenz von deinem unendlichen Kettenbruch beweisen. Dazu gibt es ein aussergewöhnlich einfaches Kriterium. Das findest du in jedem guten Buch über Kettenbrüche (es gibt viele auch online). Wenn du dann schon weisst, dass dein Kettenbruch konvergiert, dann ziehe in Betracht, dass lim b(n)=lim b(n+1) =:b. So bekommst du aus der Rekursion b(n+1)=1+1/b(n) die Gleichung b=1+1/b. Die Lösung dieser Gleichung findest du sicher ganz einfach. Vielleicht habe ich ein bisschen weitergeholfen. mfg Marian |
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