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Ungleichung des Betrags best. Wurzeln zeigen.

Universität / Fachhochschule

Tags: Ungleichung, Ungleichungen, Wurzel

Swt1990 aktiv_icon

11:49 Uhr, 03.10.2009

$| \sqrt{a} - \sqrt{b} | \leq \sqrt{| a - b |}$

(Betrag von((Wurzel aus a) minus (wurzel aus b))) kleiner gleich (Wurzel aus(Betrag von (a minus b)))

i-wie wurde es ned richtig dargestellt daher hab ich es als text nochmal hingeschrieben :)

Diese Ungleichung soll für alle a,b größer gleich Null gezeigt werden. Also, dass sie gilt.

Wenn ich es anhand Zahlenbeispiele mache ist es einleuchtend.. Aber abstrakt und allgemein ausgedrückt bekomme ich es irgendwie nicht hin..

Könnt ihr mir behilflich sein? Habe nichts im Forum gefunden und bin auch neu hier :S

Danke euch allen ;)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

magix aktiv_icon

12:29 Uhr, 03.10.2009

Du musst eine Fallunterscheidung machen, dann kannst du die Betragsstriche wegbekommen.

Wenn gilt

a > b,

dann ist sowohl

\sqrt{a} - \sqrt{b}

als auch

\sqrt{a - b}

positiv und du kannst einfach die Striche weglassen. Ist dagegen

b > a,

dann musst du ein Minus vor die Differenz setzen, wenn du die Striche weglässt.

Anschließend kannst du die Ungleichung ganz normal umformen. Vorsicht auf das Unlgeichheitszeichen, bei Multiplikation oder Division mit negativen Werten!

Gruß Magix

Swt1990 aktiv_icon

11:00 Uhr, 04.10.2009

Hey Magix,

danke für Deine Hilfe.. Jedoch komme ich trotzdem nicht weiter. Ich weiß, das kommt jetzt nervend aber ich verstehe es einfach nicht ^^

ich soll ja einfach nur zeigen, dass der rechte term größer als der linke ist.

Nach was soll ich da denn auflösen? und wenn a < b ist, dann steht unter der wurzel was negatives und somit wäre es ja unlösbar :S

Tut mir echt leid, aber ich verstehe es nicht =) Wäre nett, wenn du es etwas ausführlicher erklären könntest.

und wie kann ich dann bei a>b beweisen bzw. zeigen, dass "wurzel a" minus "wurzel b" kleiner gleich "wurzel a minus b" ist?

Sehr sehr vielen Dank :)

magix aktiv_icon

21:49 Uhr, 04.10.2009

Ich fürchte, du denkst zuviel, anstatt es einfach mal auszuprobieren. Mathe ist mehr ein Handwerk als eine Wissenschaft

\land

Fall

1 : a > b

(Betragsstriche können einfach weggelassen werden, da die Differenz in jedem Fall positiv ist.)

\sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a - b} |^{2}

a - 2

sqrt(ab)+b<=

a - b | - a - b

- 2

sqrt(ab)<=-2b|:(-2)
sqrt(ab)>=

b |^{2}

ab>=b^2|:b

a \geq b

Da kein Widerspruch zur Voraussetzung

a > b

auftritt, kann die Behauptung wohl als gezeigt gelten.

Fall

2 : b > a

(Da hier die Differenzen immer negative Werte ergeben, muss vor diese ein Minus eingefügt werden, wenn die Betragsstriche weggelassen werden sollen.)

- (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \leq \sqrt{b - a}

\sqrt{b} - \sqrt{a} \leq \sqrt{b - a} |^{2}

b - 2

sqrt(ab)+a<=

b - a | - b - a

- 2

sqrt(ab)<=-2a|:(-2)
sqrt(ab)>=

a |^{2}

ab>=a^2|:a

b \geq a

Erneut gibt es keinen Widerspruch zur Voraussetzung.

Gruß Magix

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