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Ungleichung lösen mit Wurzel

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Wer kann mir die Lösung mit Lösungsweg aufzeigen?

Rosi25 aktiv_icon

14:55 Uhr, 29.09.2014

Die Ungleichung lautet:

\sqrt{2} + x > 3 - \sqrt{2 x}

Soll ich Quadrieren oder Binominalkoeffizient suchen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:23 Uhr, 29.09.2014

Leider verstehe ich nicht, wie Du hier ein Binomialkoeff. suchen willst.
Aber wenn Du das hier meinst:

x + \sqrt{2 x} = (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{2}})^{2} - \frac{1}{2}

, dann hast Du Recht. Quadrieren bringt dagegen eher wenig, fürchte ich.

Rosi25 aktiv_icon

11:37 Uhr, 02.10.2014

Die Antwort bringt mich noch nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Rosi25 aktiv_icon

11:37 Uhr, 02.10.2014

Die Antwort bringt mich noch nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

DrBoogie aktiv_icon

11:55 Uhr, 02.10.2014

2. Lösung:

2 + x > 3 - \sqrt{2 x}

2 + x - 3 + \sqrt{2 x} > 0

x + \sqrt{2 x} - 1 > 0

=>
machen Substitution

\sqrt{x} = y

und bekommen
quadratische Ungleichung

y^{2} + \sqrt{2} y - 1 > 0

.
Für quadratische Ungleichungen gibt's Standartverfahren:
zuerst wird die zugehörige Gleichung

y^{2} + \sqrt{2} y - 1 = 0

gelöst.
Die Lösung ist

y_{1, 2} = \frac{- \sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

.
Die Lösung der Ungleichung ist dann

y \in (- \infty, \frac{- 1}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}) \cup (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)

.
Aber da

y = \sqrt{x} > 0

, bleibt nur der Teil

\sqrt{x} \in (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)

\sqrt{x} > \frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}}

und weiter wie in der 1. Lösung.

supporter aktiv_icon

12:06 Uhr, 02.10.2014

@DrBoogie:

Am Anfang der Ungleichung steht

\sqrt{2} + x . .

. , nicht

2 + x . .

Respon

12:12 Uhr, 02.10.2014

f (x) = \sqrt{2} + x

streng monoton wachsend

g (x) = 3 - \sqrt{2 \cdot x}

streng monoton fallend
Schnittpunkt berechnen

\sqrt{2} + x = 3 - \sqrt{2 \cdot x}

\Rightarrow x = 4 - \sqrt{2} - \sqrt{7 - 2 \cdot \sqrt{2}}

Wegen der angegebenen Monotonie gilt die Ungleichung also für

x > 4 - \sqrt{2} - \sqrt{7 - 2 \cdot \sqrt{2}}

( Hinweis: Durch das Quadrieren der Gleichung "schwindelt" sich eine falsche Lösung hinein,

4 - \sqrt{2} + \sqrt{7 - 2 \cdot \sqrt{2}}

ist KEINE Lösung )

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 02.10.2014

Danke, Supporter.

Leider habe ich meine erste Lösung überschrieben.
Jetzt ist sie wieder, korrigiert:

1. Lösung

\sqrt{2} + x > 3 - \sqrt{2 x}

x + \sqrt{2 x} + \sqrt{2} - 3 > 0

(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{2}})^{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 3 > 0

(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{2}})^{2} > 3.5 - \sqrt{2}

\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}

\sqrt{x} > \sqrt{3.5 - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}

x > (\sqrt{3.5 - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{2}

.

Und hier die zweite Lösung, korrigiert:
2. Lösung

\sqrt{2} + x > 3 - \sqrt{2 x}

x + \sqrt{2 x} + \sqrt{2} - 3 > 0

=>
machen Substitution

\sqrt{x} = y

und bekommen
quadratische Ungleichung

y^{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} - 3 > 0

.
Für quadratische Ungleichungen gibt's Standartverfahren:
zuerst wird die zugehörige Gleichung

y^{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} - 3 = 0

gelöst.
Die Lösung ist

y_{1, 2} = \frac{- \sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2 - 4 (\sqrt{2} - 3)}}{2} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}

.
Die Lösung der Ungleichung ist dann

y \in (- \infty, \frac{- 1}{\sqrt{2}} - \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}) \cup (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}, \infty)

.
Aber da

y = \sqrt{x} > 0

, bleibt nur der Teil

\sqrt{x} \in (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}, \infty)

\sqrt{x} > \frac{- 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3.5 - \sqrt{2}}

und weiter wie in der 1. Lösung.

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