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Ungleichung mit Binomialkoeffizienten und Potenzen

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Folgen und Reihen

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Folgen und Reihen, Potenz, Relation., Ungleichung

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14:52 Uhr, 15.05.2014

Hallo,

ich hänge nun schon eine Weile an folgender Übungsaufgabe aus Analysis:

Zeigen Sie durch direkte Rechnung, dass:

\frac{1}{m^{k}} (\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}) < \frac{1}{n^{k}} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}

für

k, m, n \in ℕ

mit

m < n

und

2 \leq k \leq n

erfüllt ist. Gilt die erste Ungleichung auch für

k = 0.1

?

Kann ich daraus 2 Ungleichungen machen oder muss ich das in der Riesen Ungleichung stehen lassen und umformen?

Ich habe es schon für die große Unlgeichung umgeformt und hänge dann an folgendem letzten Schritt:

\frac{1}{m^{k}} \frac{m!}{k! (m - k)!} < \frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{2}{2^{k}}

Jetzt könnte man ja durch Multiplikation die Nenner weg bekommen, allerdings hilft mir das auch nicht viel. (Darf ich bei einer Ungleichung eigentlich den Kehrwert bilde, sofern ich die Ungleichungszeichen umdrehe? Bin mir leider nicht mehr so sicher.)

Ich glaube mein größtes Problem ist, dass zusätzlich zu den Binomialkoeffizienten noch Potenzen darin vorkommen.

Ich freue mich über jede Hilfe und würde gerne erst mal nur einen Ansatz bekommen, so dass ich schauen kann, ob ich damit selbst zurecht komme, danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DrBoogie aktiv_icon

14:56 Uhr, 15.05.2014

Du kannst diese 3 Ungleichungen auch separat beweisen. Ich würde das auch tun, denn die Begründungen sind für alle 3 unterschiedlich. Die letzte ist die einfachste, sie ist schnell erledigt. Die zwei anderen sind etwas komplizierter, aber auch nicht sehr.

Schreibe einfach alle Fakültäten aus und kürze alles, was geht.

Rebelly aktiv_icon

15:19 Uhr, 15.05.2014

Ich habe jetzt alle 3 einzeln betrachtet, komme aber leider weder auf eine Begründung noch kann ich weiter kürzen

: (

erster Teil:

\frac{1}{m^{k}} \frac{m!}{k! (m - k)!} < \frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{k! (n - k)!}

n^{k} (n - k)! m! < m^{k} (m - k)! n!

zweiter Teil:

\frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{1}{k!}

n! \leq (n - k)! n^{k}

jetzt könnte ich ja Teil

1 & 2

gleichsetzen, aber da sehe ich auch nichts (also weder eine Begründung noch eine Art und Weise das noch zusammen zu fassen oder zu kürzen):

n! \leq (n - k)! n^{k} < m^{k} \frac{n!}{m!} (m - k)!

und noch der dritte Teil:

\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}

2^{k - 1} \leq k!

DrBoogie aktiv_icon

15:35 Uhr, 15.05.2014

Du hast sie aber nicht ausgeschrieben.
Was ich meine:

\frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1}{(n - k) \cdot (n - k - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1 \cdot k!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - k + 2) \cdot (n - k + 1)}{k!}

und jetzt kannst Du sagen: alle Faktoren im Zähler, von

n - k + 1

bis

n

sind kleiner oder gleich

n

, insgesamt gibt's

k

davon, also ist der Zähler höchstens

n^{k}

.
Deshalb gilt

\frac{n!}{(n - k)! k!} \leq \frac{n^{k}}{k!}

, was Dir schon die zweite Ungleichung gibt.

Mit ähnlichen "groben" Methoden beweist Du auch zwei andere Ungleichungen.

Rebelly aktiv_icon

12:27 Uhr, 17.05.2014

Ich werde es mal versuchen, habe mir auch schon von Komillitonen helfen lassen, aber der richtige Durchblick hat sich bei mir noch nicht eingestellt, trotzdem vielen Dank für die Hilfe! :-)

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