Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ungleichung mit n-te Wurzel

Ungleichung mit n-te Wurzel

Universität / Fachhochschule

Tags: n-te Wurzel, Ungleichung

alinamuell aktiv_icon

19:59 Uhr, 08.11.2018

Hallo zusammen,

Ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu besrbeiten:

"Zeigen Sie dass für alle

x \in ℝ + (

in positiven reellen Zahlen) und

n \in ℕ

die folgende Ungleichung gelte:

\sqrt[n]{x} - 1 \leq \frac{x - 1}{n}

"

Ich hab angefangen die Aufgabe zu lösen, aber c´komme nicht weiter.

Mein Lösungsweg wäre:

\sqrt[n]{x} - 1 \leq \frac{x - 1}{n}

\sqrt[n]{x} \leq \frac{x - 1}{n} + 1

\sqrt[n]{x} - \frac{x}{n} \leq - \frac{1}{n} + 1

Somit ist

1 - \frac{1}{n} \geq 0

dann sollte

\sqrt[n]{x} - \frac{x}{n} \leq 0

sein.

\sqrt[n]{x} \leq \frac{x}{n}

x \leq \frac{x^{n}}{n^{n}}

1 \leq \frac{x^{n}}{x \cdot n^{n}}

Könnte mir jemand weiter helfen?

Ich wäre sehr dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

abakus

20:33 Uhr, 08.11.2018

Hallo,
für x=1 gilt die Gleichheit.
Kannst du zeigen, dass die aus dem rechten Term (der gegebenen Ungleichung) bestehende Funktion die Tangente beschreibt, die man an die aus dem linken Term entstehenden Funktion an der Stelle x=1 anlegt?

Roman-22

20:40 Uhr, 08.11.2018

>

dann sollte xn−xn≤0 sein.
Warum?? Außerdem stimmt das nicht. So ist der Ausdruck für zB

x = 3

immer positiv und für

x = 9

etwa ist er für

n \geq 7

immer positiv.

Ich denke, du könntest eine Fallunterscheidung

x > 1

und

x < 1

machen und eventuell einen Induktionsbeweis erwägen.

Aber der Vorschlag von abakus scheint etwas einfacher zum Ziel zu führen.

HAL9000

12:48 Uhr, 09.11.2018

Sei

y := \sqrt{[} n] x - 1

, dann gilt gemäß Bernoullischer Ungleichung

x = (1 + y)^{n} \geq 1 + n y

, was umgestellt die Behauptung

y \leq \frac{x - 1}{n}

ergibt.

anonymous

12:50 Uhr, 09.11.2018

Vorschlag für einen alternativen Lösungsweg:
Substitution:

\sqrt[n]{x} = w

x = w^{n}

Dann wird unsere Ungleichung zu:

w - 1 \leq \frac{w^{n} - 1}{n}

n \cdot (w - 1) \leq w^{n} - 1

n \cdot w - n + 1 \leq w^{n}

2.Substitution:

w = 1 + v

Dann wird unsere Ungleichung zu:

n \cdot (1 + v) - n + 1 \leq {(1 + v)}^{n}

n + n \cdot v - n + 1 \leq {(1 + v)}^{n}

1 + n \cdot v \leq {(1 + v)}^{n}

1+nv

\leq 1^{n} + n \cdot 1 \cdot v + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot v^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot v^{3} + . .

+ (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) \cdot v^{n}

HAL9000

12:54 Uhr, 09.11.2018

Sorry für das

\sqrt{[} n] x

, ich hatte angenommen, das Forum hier akzeptiert diesen Standard-LaTeX-Ausdruck für die

n

-te Wurzel - anscheinend aber nicht.

alinamuell aktiv_icon

13:07 Uhr, 09.11.2018

Vielen Dank für die Hilfe. Eure Voschläge ware sehr hilfreich:-)

1445965

1445887

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?