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Ungleichung mit n-te Wurzel

Universität / Fachhochschule

Tags: n-te Wurzel, Ungleichung

 
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alinamuell

alinamuell aktiv_icon

19:59 Uhr, 08.11.2018

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Hallo zusammen,

Ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu besrbeiten:

"Zeigen Sie dass für alle x+( in positiven reellen Zahlen) und n die folgende Ungleichung gelte: xn-1x-1n "

Ich hab angefangen die Aufgabe zu lösen, aber c´komme nicht weiter.

Mein Lösungsweg wäre:

xn-1x-1n

xnx-1n+1

xn-xn-1n+1

Somit ist 1-1n0

dann sollte xn-xn0 sein.

xnxn

xxnnn

1xnxnn

Könnte mir jemand weiter helfen?

Ich wäre sehr dankbar :-)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
abakus

abakus

20:33 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Hallo,
für x=1 gilt die Gleichheit.
Kannst du zeigen, dass die aus dem rechten Term (der gegebenen Ungleichung) bestehende Funktion die Tangente beschreibt, die man an die aus dem linken Term entstehenden Funktion an der Stelle x=1 anlegt?
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:40 Uhr, 08.11.2018

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> dann sollte xn−xn≤0 sein.
Warum?? Außerdem stimmt das nicht. So ist der Ausdruck für zB x=3 immer positiv und für x=9 etwa ist er für n7 immer positiv.

Ich denke, du könntest eine Fallunterscheidung x>1 und x<1 machen und eventuell einen Induktionsbeweis erwägen.

Aber der Vorschlag von abakus scheint etwas einfacher zum Ziel zu führen.

Antwort
HAL9000

HAL9000

12:48 Uhr, 09.11.2018

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Sei y:=[n]x-1, dann gilt gemäß Bernoullischer Ungleichung x=(1+y)n1+ny, was umgestellt die Behauptung yx-1n ergibt.
Antwort
11engleich

11engleich

12:50 Uhr, 09.11.2018

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Vorschlag für einen alternativen Lösungsweg:
Substitution:
xn=w
x=wn

Dann wird unsere Ungleichung zu:
w-1wn-1n

n(w-1)wn-1
nw-n+1wn

2.Substitution:
w=1+v

Dann wird unsere Ungleichung zu:
n(1+v)-n+1(1+v)n

n+nv-n+1(1+v)n

1+nv(1+v)n

1+nv 1n+n1v+(n2)1v2+(n3)1v3+... +(nn)vn

Antwort
HAL9000

HAL9000

12:54 Uhr, 09.11.2018

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Sorry für das [n]x, ich hatte angenommen, das Forum hier akzeptiert diesen Standard-LaTeX-Ausdruck für die n-te Wurzel - anscheinend aber nicht.
Frage beantwortet
alinamuell

alinamuell aktiv_icon

13:07 Uhr, 09.11.2018

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Vielen Dank für die Hilfe. Eure Voschläge ware sehr hilfreich:-)