Ursprungsgerade ges. die eine Fläche halbiert

Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben: f(x)= -x²+4x

Gesucht ist die Ursprungsgerade die diese Fläche halbiert.

Meine Vorüberlegungen:

Nullstellen bestimmen (0 und 4) und den Flächeninhalt der Parabel oberhalb der x-Achse bestimmen (32/3). Nun muss es eine Gerade geben (y=m*x) die vom Koordintenursprung ausgehend die Fläche unterhalb der Parabel halbiert. Aber an welcher Stelle muss die Ursprungsgerade die Parabel dazu schneiden ?

Mein Ansatz (aber wohl nicht richtig) lautet:

${\displaystyle 0,5*\frac{32}{3}={\int }_0^4-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-(\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Als Lösung erhalte ich m=2/3 passt dass ??

Hallo,

ich habe noch eine Rückfrage.

Also die Bestimmung über die Methode obere Funktion minus der unteren und dann das ganze nach m auflösen funktioniert also nicht ??

m ist ja auch nichts anderes als y/x

Wenn ich nun Deinen Vorschlag verfolge so erhalte ich :

${\displaystyle \frac{16}{3}={\int }_0^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\left(\frac{{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^2+4*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun die kann man das x null noch kürzen, Stammfunktion bilden und die Grenzen für x einsetzen.

Damit komme ich zu:

${\displaystyle \frac{16}{3}=-\frac{1}{3}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^3+2*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^2-4*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$

Wenn ich x null faktorisiere, und dann dadurch dividiere, erhalte ich eine p-q-Formel zu:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^2-6*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0+28=0 \\ {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}0}_{1/2}=3\frac{+}{-}\sqrt{9-28}} \end{gathered}$$

Die negative Diskrimminante schliesst jedoch Lösungsergebnisse aus ??

Wie kommt das ?

Irgendwie stehe ich mit diese eigentlich einfachen Aufgabe auf Kriegsfuss.

Ich habe das *x vergessen, so nun mein erneuter Ansatz:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{16}{3}={\int }_0^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\left(\frac{-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^2+4*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}\right)*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \frac{16}{3}=[-\frac{1}{3}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+2*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2]\begin{array}{c}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\\ 0\end{array} \\ \frac{16}{3}=-\frac{5}{6}*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^3 \\ {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=-1,86} \end{gathered}$$

Kann aber nicht sein !!

Ich würde das aber so formulieren: ${\displaystyle \sqrt[3]{32}}$