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Van der Waal Gleichung Nullstellen berechnen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: nullstellen berechnen, Van der Waal Gleichung

Daniela222 aktiv_icon

21:21 Uhr, 12.11.2018

Guten Abend,

ich habe die Van der Waal Gleichung zur Bestimmung des Gasvolumens bereits zu einer Funktion dritten Grades umgestellt. Da komme ich allerdings nicht weiter und wollte daher Fragen wie ich nun die Nullstellen dieser Funktion berechne ?

Die Gleichung wird zunächst in die Form der binomischen Formel gebracht und dann wird durch Multiplikation Subtraktion, zusammenfassen eine Funktion dritten Grades erstellt. Korrigiert mich wenn ein Fehler vorliegt.

(p +

n² aV2)x(V−nb)=nRT

pV - pnb

+

n²a/V - n³ab/V² = nRT Multiplikation V²

pV³ - pnbV²

+

n²aV - n³ab = nRTV² Subtraktion nRTV²

pV³ - pnbV² - nRTV²+ n²aV - n³ab

= 0

Zusammenfassen

pV³ -(pnb

+

nRT)V²+ n²aV - n³ab

= 0

Wie berechne ich nun die Nullstellen ?

Gruß Daniela

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

22:57 Uhr, 12.11.2018

Hallo
Du hast nicht verraten, nach welcher Größe du eigentlich auflösen willst.
So wie du beschrieben hast, kämen dafür "V" genauso in Frage, wie "n".
Beides Sind Polynomfunktionen dritten Grades.
Ich nehme mal aus deinen Umformungen an, dass du eigentlich die Variable "V" beabsichtigst.

Für Polynomfunktionen dritten Grades gibt es

>

die Cardanischen Formeln, siehe

\to :

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

>

numerische Näherungsverfahren

aber leider darüber hinaus keine Schul-gerechten geschlossenen Verfahren.

Daniela222 aktiv_icon

14:49 Uhr, 13.11.2018

Ja ich möchte nach V umstellen/ auflösen, möchte das Volumen raus bekommen. Egal wie kompliziert es ist (nicht schulgerecht) ich möchte die Aufgabe gern lösen. Dabei möchte ich gern erst einmal Zahlen einsetzen und die Funktion etwas vereinfachen. Allerdings komme ich dabei bei der ersten Klammer auf ein recht großes Ergebnis und wollte daher Fragen ob das Ergebnis einen Sinn ergibt ?

pV³ -(pnb + nRT)V²+ n²aV - n³ab =0
(P) V³ - (Pnb + nRT) V² + (n²a) V - n³ab = 0

P= 1.00 atm =101325 Pascal
n = 1.00 mol
T = 315,15 Kelvin
R = 8.314 kg x m`2/ s`2 mol x Kelvin
Kovolumen (b) = 42,7 10`6 x m`3/ mol = 0,000427
Kohäsionsdruck (a) = 363,7 10`3 x (J x m)`3/ mol`2 = 0,000363

1. Klammer (Pnb + nRT)

V³ - 101325 Pascal mal 1 Mol mal 0.00000427 mal 1.00 Mol mal 8.314 mal 315,15 K)

Musste da im Textmodus geschrieben leider ein paar Einheiten weglassen da es sonst zu unübersichtlich wird.

= 2620.589

Kann dieses Ergebnis für(Pnb + nRT) überhaupt richtig sein ?

2. Klammer (n²a)

1´2 mal 0,000363= 0,000363 (J mal m)`3/ mol`2 = 0,000363

3. Rechnung n³ab

1 mal 0,000363 mal 0,000427 = 0,0000000155001

Dann sieht die Gleichung dritten Grades folgendermaßen aus:

V³ - 2620.589 V² + 0,0003636 V - 0,0000000155001 = 0

Sind die Ergebnisse der Rechnungen korrekt bzw. wurde mit den richtigen Einheiten gerechnet. Ich muss mal mit LaTeX schreiben dann sieht es etwas besser aus.

Gruß Daniela

Enano

18:16 Uhr, 13.11.2018

In deiner allerersten Gleichung müsste es

\frac{n^{2} \cdot a}{V^{2}}

heißen und nicht

n^{2}

aV2.

b = 42,7 \cdot 10^{- 6}

m^3/mol

= 0,0000427

m^3/mol
In deiner Rechnung unter 1. sind aus 3 Nullen hinter dem Komma 5 geworden.

a = 363,7 \cdot 10^{- 3}

(J*m)^3/mol^2

= 0,3637

(J*m)^3/mol^2

\neq 0,000363

1 . :

Wenn du schon

V^{3}

aufführst, sollte nicht der Faktor

p

vergessen werden, wie auch bei deiner letzten Gleichung.

5 \cdot

"mal" ist eines zu viel, dafür fehlt ein "plus".

Ich habe

2624,48 J

heraus.

Zu

2 . :

n^{2} \cdot a = 0,3637 {(J \cdot m)}^{3}

3 . :

n^{3} \cdot a \cdot b = 15529,99 \cdot 10^{- 9} = 0,00001552999 {(J \cdot m)}^{3} \cdot m^{3}

"Sind die Ergebnisse der Rechnungen korrekt"
WC ;-)

Oder hast du teilweise gleich (falsch)durch

p

dividiert ohne es hinzuschreiben?

Daniela222 aktiv_icon

20:17 Uhr, 13.11.2018

Ich habe noch nicht durch P dividiert. Die Einheiten waren einfach falsch. Wann muss ich durch p dividieren ? Wie geht es jetzt weiter ?

Jetzt sieht die Funktion 3 Grades so aus:

(P) V³ - 2624.483 Joule V² + 0,3637 (J x m)`3 V - 0,00001552999 (J x m)`3 x m`3= 0

ledum aktiv_icon

21:20 Uhr, 13.11.2018

Hallo
meinst du mit dem ' ein Hochzeichen? also (Jm)^3=J^3m^3 dann stimmt was nicht. wenn es heisst Jm^3 stimmen wenigstens die Einheiten der Summanden
dein absolutes Glied ist so winzig, dass man es weglassen kann und

V

hat nur einen Fehler in der 6ten Stelle., dann kannst du durch

V

dividieren und hast eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst, das scheint mir ich für andere Zahlen so, Also rechne einfach ohne n^3ab.
Gruß ledum

Daniela222 aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.11.2018

Ja mit m`3 meine ich m hoch 3

Das ist eine Option ohne n`3ab zu rechnen dann mittels einer quadratischen Gleichung zu rechnen. trotz allem werde ich beides versuchen.

was stimmt mit den Einheiten nicht ?

ledum aktiv_icon

22:56 Uhr, 13.11.2018

Hallo du schriebst (JM)^3 das ist

J^{3} \cdot m^{3}

was du hoffentlich nicht meinst.
deine Konstanten sind

z

. Teil nur auf 4 bis 5 Stellen genau, daraus ein Ergebnis zu errechnen wa ´s auf mehr als 5 Stellen genau ist ist einfach Taschenrechnemüll!
lass dir deine Gleichung (mit Zahlen) mal von wolframalpha lösen, mit und ohne absolutes Glied
Gruß ledum

Enano

23:46 Uhr, 13.11.2018

Hallo,

ledum hat recht, ich habe die Einheit falsch übernommen, es muss nicht

{(J \cdot m)}^{3}

heißen, sondern

J \cdot m^{3}

.

Ohne absolutes Glied wäre das Volumen bei dieser geringen Stoffmenge nur um ca.

0,000776 %

geringer, bei Berechnung mit der allgemeinen Gasgleichung

V = \frac{n \cdot R \cdot T}{p}

ca.

0,38 %

größer.

Daniela222 aktiv_icon

17:59 Uhr, 14.11.2018

Habe es jetzt bei Wolfram Alpha eingegeben und bin zu folgender Lösung gekommen:

Eingegebene Gleichung:

(101325 + 0.3637 x^-2) * ( x - 42.7 * 10^-6) = 8.314 * 310.15

Dabei kommt als Lösung x= 0.02535

Antwort: Das molare Volumen von Kohlendioxid beträgt 25.35 Liter/ Mol

Richtig ?

Sauerstoff hat folgendes Molare Volumen:

Eingegebene Gleichung:

(101325 + 0.1378 x^-2) * ( x - 31.8 * 10^-6) = 8.314 * 310.15

Lösung x = 0.0254271

Antwort: Das molare Volumen von Sauerstoff beträgt 25.4271 Liter

Enano

18:29 Uhr, 14.11.2018

"Richtig ?"

Nein, denn vorgegeben war

T = 315,15

Kelvin und nicht

T = 310,15

Kelvin.

Aber wozu der ganze Aufwand, wenn du die Aufgabe letztendlich doch nicht selbst löst, so wie du es ursprünglich vor hattest?

Daniela222 aktiv_icon

18:46 Uhr, 14.11.2018

Ich wollte nur erstmal ein Ergebnis haben ich werde sie schon noch anders lösen :-)

Da, ich die Aufgabe gern selbst Lösen möchte ist jetzt die Frage wie ich Polynomdivision, caradanische Formel oder andere verwenden soll wenn die Form des Polynom nicht ganz passend ist. Wie muss denn das Polynom eigentlich Aussehen. Momentan sieht es ja noch so aus:

(P) V³ - 2624.483 Joule V² + 0,3637 J x m`3 V - 0,00001552999 J x m`3 x m`3= 0

Enano

11:12 Uhr, 15.11.2018

Rechne doch so, wie ledum es vorgeschlagen hatte, nämlich indem du das absolute Glied weg lässt und dann nur noch eine gemischt quadratische Gleichung lösen musst.
Das führt nur zu einer Abweichung von nur ca.

\frac{2}{10000} l

. Die Abweichungen, die du durch unterschiedliche Konstanten erhältst, dürften größer sein. Also wäre es nicht sehr sinnvoll mit einem größeren Rechenaufwand ein scheinbar genaueres Ergebnis erzielen zu wollen.
Wenn es dir aber nur darum geht, die veschiedenen Verfahren zur Nullstellenberechnung von kubischen Gleichungen kennenzulernen bzw. zu üben, gibt es dafür besser geeignete Gleichungen.

Daniela222 aktiv_icon

18:21 Uhr, 15.11.2018

Lösung mittles quadratischer Gleichung und p-q-Formel

2624.483 x`2 + 0.3637 x - 0 = 0 / : 2624.483

x`2 + 0.000138x - 0 = 0

x1,2= - 0.000138/2 +- sqrt (0.000138/2)`2 - 0

x1,2= - 0.00069 +- 0.00069

x1=0 x2= 0.000138

Denke ich hab was falsch gemacht. Geht das überhaupt so wie ich das versucht habe zu Lösen ?

Enano

18:39 Uhr, 15.11.2018

Wenn du bei deiner Gleichung vom

13.11 .,20 : 15

das absolute Glied weg lässt und dann durch

p \cdot V

dividierst, kommt doch was anderes heraus.

Daniela222 aktiv_icon

20:54 Uhr, 15.11.2018

Ich habe erstmal durch 2624.483 dividiert um x`2 dastehen zu haben. Ich soll jetzt durch p x V dividieren und das absolute Glied weglassen ? Wie sieht das dann aus ?

(P)V`3 - 2624.483 V`2 + 0.3637 V / : p x V

2624.483 V`2 + 0.3637 V / : 101325(p)

0.025901 V`2 + 0.000003589 V

so korrekt, wie gehts weiter ?

ledum aktiv_icon

21:57 Uhr, 15.11.2018

Hallo
warum steht das

P

in Klammern? aber du arbeitest zu unkonzentriert!

(P) V^{3} - 2624.483 V^{2} + 0.3637 V = \frac{0}{:} p x V

V^{2} - 2624 . \frac{483}{P} \cdot V + 0 . \frac{3637}{P} = 0

Gruß ledum

Daniela222 aktiv_icon

11:25 Uhr, 16.11.2018

(P) V ` 3 - 2624.483 V ´ 2 + 0.3637 V = 0 / p x V

V ` 2 - 2624.483 / P \cdot V + 0.3637 / P = 0

Weshalb wird 2624.483 V`2 dann zu 2624.483 V und warum wird 0.3637 V dann zu 0.03637 ?

Enano

11:46 Uhr, 16.11.2018

Und warum wird

p \cdot V^{3}

V^{2}

?

Vielleicht, weil du die ganze Gleichung durch

p \cdot V

dividieren sollst, damit sie gleichwertig bleibt, also:

\frac{p \cdot V^{3}}{p \cdot V} = \frac{p \cdot V \cdot V \cdot V}{p \cdot V} = V^{2}

\frac{2624,483 \cdot V^{2}}{p \cdot V} = \frac{2624,483 \cdot V \cdot V}{p \cdot V} = \frac{2624,483 \cdot V}{p}

\frac{0,3637 \cdot V}{p \cdot V} = \frac{0,3637}{p}

\frac{0}{p \cdot V} = 0

Falls es noch nicht klar sein sollte, dies ansehen:

www.mathebibel.de/brueche-kuerzen

Daniela222 aktiv_icon

13:03 Uhr, 16.11.2018

Okay, das habe ich soweit verstanden. War sehr aufschlussreich.

V ` 2 - 2624.48 V / P + 0.3637 / P = 0

V ` 2 - 2624.48 V / 101325 + 0.3637 / 101325 = 0

V ` 2 - 0.025901 V + 0.3637 = 0

Und jetzt die pq-Formel verwenden ?

x 1, 2 = - p / 2 + - s q r t (p / 2) ` 2 - q

x 1, 2 = + 0.0259 / 2 + - s q r t (0.0259 / 2) ` 2 - 0.3637

x 1, 2 = 0.0129 + - s q r t 0.0064 - 0.3637

x 1, 2 = 0.0129 + - s q r t - 3573

x 1, 2 = 0.0129 + - 0.59774576535514 i

Da kann ja was nicht stimmen oder ?

Enano

13:32 Uhr, 16.11.2018

Du hast es zwar hingeschrieben, aber dann doch nicht die

0,3637

durch

101325

geteilt.

Daniela222 aktiv_icon

14:26 Uhr, 16.11.2018

V ` 2 - 2624.48 V / P + 0.3637 / P = 0

V ` 2 - 2624.48 V / 101325 + 0.3637 / 101325 = 0

V ` 2 - 0.025901 V + 0.000003589 = 0

Und jetzt die pq-Formel verwenden ?

x1,2=−p/2+−sqrt(p/2)`2−q

x 1, 2 = + 0.0259 / 2 + - s q r t (0.0259 / 2) ` 2 - 0.000003589

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.00016770 - 0.00003589

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.00013181

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.0114817

x 1 = 0.0244325 x 2 = 0.0014691

Der erste Wert ist also 24.4325 Liter (Richtig ?). Was bedeutet der 2 Wert x2= 0.0014691 ?

Enano

16:09 Uhr, 16.11.2018

"Der erste Wert ist also

24.4325

Liter (Richtig ?)."

Nein, denn dir ist eine Null abhanden gekommen, aus

0,000003589

wurde

0,00003589

.
Wieso rundest du

0,000167715

auf

0,00016770

?

"Was bedeutet der 2 Wert x2"

Du wolltest doch die Nullstellen berechnen und diese Parabel

f (x) = x^{2} - 0,025901 x + 0,000003589

hat zwei, denn sie schneidet die x-Achse bei

x_{1}

und

x_{2}

Daniela222 aktiv_icon

16:19 Uhr, 16.11.2018

X 1, 2 = - p / 2 + - s q r t (p / 2) ` 2 - q

x 1, 2 = + 0.0259 / 2 + - s q r t (0.0259 / 2) ` 2 - 0.000003589

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.00016770 - 0.000003589

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.000164113

x 1, 2 = 0.0129508 + - s q r t 0.0128106

x 1 = 0.0257614 x 2 = 0.0001402

Wenn ich (0.0259/2)`2 rechne kommt 0.00016770 raus.

Enano

16:35 Uhr, 16.11.2018

Wenn du jetzt noch richtig oder erst am Schluß gerundet hättest, würdest du mit deinem Ergebnis noch näher an dem Ergebnis liegen, zu dem WolframAlpha bei der Lösung der kubischen Gleichung kommt.

"Wenn ich

. .

. rechne kommt

0.00016770

raus."

Ja, das stimmt, weil du beim Wechsel von

V

auf

x

die beiden letzten Stellen nicht mehr mitgenommen hast.
Nur weil die pq-Formel angewandt wurde, muss aus dem

V

kein

x

werden.

Daniela222 aktiv_icon

18:55 Uhr, 16.11.2018

x 1, 2 = 0.0259 / 2 + - s q r t (0.0259 / 2) ` 2 - 0.000003589

x 1, 2 = 0.01295 + - s q r t 0.0001677025 - 0.000003589

x 1, 2 = 0.01295 + s q r t 0.0001641135

x 1, 2 = 0.01295 + - 0.01281067913891

x 1 = 0.02576067913891 x 2 = 0.00013932086109

Gibt es noch weitere Nullstellen ?

ledum aktiv_icon

20:25 Uhr, 16.11.2018

Hallo
dass eine Parabel nur 2 Nullstellen haben kann solltest du wissen, eine Gleichung dritten grades die 2 verschiedene Nullstellen hat auch eine dritte. oder was sollte die Frage?
dir ist hoffentlich klar, dass da eine deiner Zahlen nur vier gültige Stellen hat, alles was nach spätestens 5 zählenden Stellen kommt TR Müll ist: in Mathe bedeutet

0.00003589

dasselbe wie

0.0000358900000000000000

usw. in Physik bedeutet

0.00003589 = 0.00003589 \pm 0,0000000049

Gruß ledum

Daniela222 aktiv_icon

12:08 Uhr, 17.11.2018

x1,2=0.0259/2+−sqrt(0.0259/2)`2−0.000003589

x1,2=0.01295+−sqrt0.0001677025−0.000003589

x1,2=0.01295+sqrt0.0001641135

x1,2=0.01295+−0.01281067913891

x1=0.02576067913891x2=0.00013932086109

Das heißt wenn 0.0259 vier nachkommastellen hat dürfen die Nullstellen x1 und x2 dann auch nur auf 4 nachkommastellen gerundet werden ?

also,

x1= 0.0258 x2= 0.0002

ledum aktiv_icon

12:39 Uhr, 17.11.2018

Hallo
Es kommt nicht auf die Nachkommastellen an sondern nur auf die gültigen Stellen,denn du kannst es ja auch als ganze Zahlen mit Zehnerpotenzen schreiben..e vielen Nullen haben nichts zu sagen!
Gruß ledum

Daniela222 aktiv_icon

12:55 Uhr, 17.11.2018

So ganz hab ichs ja noch nicht verstanden. Ab wann ist es denn eine gültige Stelle. Warum sind bei dieser Aufgabe 4 Nachkommastellen gültig ?

Daniela222 aktiv_icon

19:34 Uhr, 19.11.2018

So ganz hab ichs ja noch nicht verstanden. Ab wann ist es denn eine gültige Stelle. Warum sind bei dieser Aufgabe 4 Nachkommastellen gültig ?

ledum aktiv_icon

15:37 Uhr, 20.11.2018

Hallo
du kannst jede Zahl als ganze Zahl mal Zehnerpotenz schreiben.

0.000259

als

259 \cdot 10^{- 6}

die gültigen Stellen sind dann die 3

0,01234 = 1234 \cdot 10^{- 4}

hat 4 gültige Stellen. du kannst das daran sehen, dass

0,01234

eigentlich

0,01234 \pm 0,000005

ist.
wenn die zahl aber

0,012340

heisst hat sie 5 gültige Stellen. kurz die Nullen davor zählen nicht, wohl aber die Nullen danach. Das alles in Physik,

d

h

wenn man ß,012340 schreibt ist man sicher, dass die letzte 0 gerundet richtig ist. in Mathe ist

0,01234

und

0,012340000

dasselbe.
Gruß ledum

Daniela222 aktiv_icon

21:10 Uhr, 20.11.2018

Vielen Dank.

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