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Vector analysis, div(rot vectorfield) = 0

Universität / Fachhochschule

Tags: divergence, Rotation, vector analysis, vector field

nudeln2 aktiv_icon

18:32 Uhr, 17.10.2017

Hallo!

Vor kurzem hatte ich ein Thema zu

r o t (g r a d λ) = \vec{0}

geöffnet, das ist erledigt, jetzt kommt die leider viel schwierigere Variante:

d i v (r o t \vec{v}) = 0

Ich würde mir das gerne irgendwie bildlich vorstellen können. Leider habe ich ein Problem damit. Ich finde das sogar unlogisch.

Nehmen wir an, wir haben eine Rohr, in dem Wasser fließt. Das Wasser fließt nicht nur das Rohr hinab, sondern es ist auch verquirlt. Wir haben also eine Rotation um eine Achse. Dort, wo das Wasser in das Rohr reinfließt, rotiert es stark. Je weiter es fließt, desto geringer wird die Rotation aufgrund von Reibungen.

Grundsätzlich haben wir also dort, wo das Wasser in das Rohr hineinfließt, das Bild im Anhang. Entlang der z-Achse wird die Rotation dann immer schwächer.

Leider beginnen meine Probleme schon damit, ein Vektorfeld zu definieren, das dieses Verhalten aufweist. Eine 2dimensionale Rotation zu definieren, ist leicht. Im wolframalpha.com gebe ich dazu ein:

VectorFieldPlot[{-y, x}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Mein Problem ist jetzt, diese Rotation in die Tiefe zu ziehen, wobei die Vektoren dann betragsmäßig immer kleiner werden sollen. Kann man das mit einem kartesischen Koordinatensystem überhaupt irgendwie lösen?

Der Einfachheit halber vergessen wir einfach, dass es auch eine Translation gibt. Hier soll es mal nur um die Rotation gehen, die dann immer geringer wird.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

18:48 Uhr, 17.10.2017

Hallo
warum rechnest du es nicht einfach aus?
aber da div so was wie eine Wuellstärke angibt, und in deinem Wirbel ja kein Wasser entsteht ist es auch logisch, dein rot(\lambda) ist nach deiner Beschreibung überall verschieden, das ändert nichts daran, dass an keiner Stelle Wasser "entspringt"
div und rot sind ja lokale Größen , an jeder Stelle, die du in deinem Bildchen siehst fliesst soviel raus wie rein.
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

18:53 Uhr, 17.10.2017

"das ändert nichts daran, dass an keiner Stelle Wasser "entspringt""

Zu Beginn - dort wo das Wasser in das Rohr fließt - ist der Rotationsvektor groß. Je weiter das Wasser fließt, desto kleiner wird der Rotationsvektor.

Bei der Divergenz muss man ein Volumen betrachten, also einen Teilabschnitt vom Rohr. Wird der Rotationsvektor kleiner, ist das Volumen eine Senke, sofern man das Augenmerk nur auf die Rotation legt. Das Volumen ist diesbezüglich NICHT quellfrei. Das müsste es aber sein, damit diese Formel gilt. Der Rotationsvektor müsste an jeder Stelle im Rohr gleich sein.

Das ist doch so, oder?

Es geht um die Gleichung

d i v (r o t \vec{v}) = 0

mit dem Vectorfeld

\vec{v}

. Diese Formel soll gelten gemäß www.youtube.com/watch?v=0tjWWS2DGmU ab 56:10

EDIT: Ich habe jetzt auch noch eine Grafik angehängt.

ledum aktiv_icon

21:40 Uhr, 17.10.2017

Hallo
1. hast du es nun mal einfach nachgerechnet mit einem beliebigen

\vec{v}

2. und nochmal div und rot sind etwas an einer Stelle, nicht in einem Volumen, oder wenn dann in einem infinitesimals. setz dich an eine Stelle im Rohr, seh meinetwegen ein winziges Volumen

d x d y d z

an kommt da mehr Wasser an, als weggeht oder geht mehr als ankommt?
wenn ja, woher kommt dieses zusätzliche Wasser, wir das Wasser an einer Stelle dichter?
niemand bezweifelt dass rote längs des Rohres sich ändern kann, aber für rotv1 rot

v 2

usw ist jeweils divrot

v_{i} = 0

Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

12:27 Uhr, 18.10.2017

@1) Das ist mir leider zu kompliziert. Wenn ich einen Vektor mit

x_{1} = x_{2} = 0

und einem

x_{3}! = 0

haben möchte, habe ich aufgrund des Kreuzprodukts der Divergenz die folgenden Gleichungen:

v_{1} = \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{3}} = 0

v_{2} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{1}} = 0

v_{3} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}! = 0

\vec{v}

sind die Geschwindigkeitsvektoren der Rotationen.

v_{3}

müsste in diesem Fall mit steigendem

x_{3}

immer kleiner werden. Also z. B.:

v_{3} = 10 - x_{3}

mit

x_{3} = 0 . . 10

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich so ein Gleichungssystem mit so vielen Ableitungen lösen könnte.

nudeln2 aktiv_icon

12:51 Uhr, 18.10.2017

@2) "und nochmal div und rot sind etwas an einer Stelle"

Das ist schon richtig, aber egal, ob ich nun das ganze Rohr als Volumen betrachte, oder nur ein unendlich kleines Volumselement davon, die Verhältnisse sind in beiden Fällen gleich.

Mit steigendem

x_{3}

wird der rot-Vektor immer kleiner. D. h. betrachtet man ein beliebig großes Volumen (z. B. ein unendlich kleines volumen), ist der Vektor, der in das Volumen hineinzeigt größer als der Vektor, der aus dem Volumen rauszeigt.

Wieder eine Skizze dazu im Anhang.

Und ich habe den Eindruck, dass man bei der Divergenz immer ein Volumen betrachten muss. Denn ich sehe immer nur Volumsintegrale, die ungefähr folgendermaßen aussehen:

\int_{V} d i v \vec{v} = \oint_{R a n d (V)} \vec{v} \cdot d \vec{f}

d \vec{f}

... kleines Flächenelement
V ... Volumen
Rand(V) ... Oberfläche des Volumens

Im Vergleich dazu das Oberflächenintegral:

\int_{A} r o t \vec{v} = \oint_{R a n d (A)} \vec{v} \cdot d \vec{s}

d \vec{s}

... kleines Kurvenelement
A ... Fläche
Rand(A) ... geschlossene Kurve

Die Wassermenge ist unverändert. Aber auf die kommt es bei der Formel

d i v (r o t \vec{v}) = 0

nicht an. Würde ich die Wassermenge betrachten, bräuchte ich die Formel

d i v \vec{v}

. Die Wassermenge ist aber egal. Es kommt darauf an, wie schnell das Wasser um die Rotationsachse rotiert.

nudeln2 aktiv_icon

12:54 Uhr, 18.10.2017

Da ist mir ein Fehler passiert.

Statt "aufgrund des Kreuzprodukts der Divergenz" sollte es lauten:
"aufgrund des Kreuzprodukts der Rotation"

Da schwirren für mich ein Haufen neuer Information in diesem Thema herum. War ein Flüchtigkeitfehler, sorry :-)

ledum aktiv_icon

13:36 Uhr, 18.10.2017

Hallo
was du schreibst ist mir nicht klar
richtig steht da rot(v_1,v_2,v_3)
dann nennst du die Komponenten davon wieder

v_{1}, v_{2}, v_{3}

kann es sein, dass du ein Vektorfeld suchst, bei dem rot

v

nur in

x_{3}

Richtung zeigt?
aber warum bildest du nicht einfach div von deinem Ausdruck und stellst fest , dass das 0 ergibt, egal was

v

ist?
anscheinend stellst dur dir rot als einen Vektor in

z

Richtung vor der in

z

Richtung abnimmt? und keine Komponente in

x

und

y -

Richtung hat?
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

15:30 Uhr, 18.10.2017

Ja, hätte mir vielleicht mehr Gedanken über die Namensgebung machen sollen.

Es gibt ein Geschwindigkeits-Vektorfeld für eine rotierende Flüssigkeit in einem Rohr. Wenn die Geschwindigkeitsvektoren

\vec{v}

heißen, geht es also darum, warum

d i v (r o t \vec{v}) = 0

ist, so wie das der Prof in dem verlinkten Video behauptet (und vermutlich auch stimmt - ich aber leider nur nicht verstehe, warum das so ist).

"kann es sein, dass du ein Vektorfeld suchst, bei dem rot v nur in x3 Richtung zeigt?"

Ja, der Rotationsvektor (ich taufe ihn jetzt einfach mal

\vec{r}

)

\vec{r} = r o t \vec{v}

soll der Einfachheit halber nur eine z-Koordinate haben, also irgendwie folgendermaßen aussehen: (0, 0, ...). Die z-Komponente wäre in der Indexschreibweise

r_{3}

. Und die Divergenz

d = d i v \vec{r}

soll dann angeblich 0 sein.

"aber warum bildest du nicht einfach div von deinem Ausdruck und stellst fest , dass das 0 ergibt, egal was v ist?"

Ehrlich gesagt, bin ich noch gar nicht auf die Idee gekommen, mir eine Formel für Rotationsvektoren

\vec{r}

zu überlegen, das ich mir in diesem Beispiel vorstelle. Irgendwie war mir das immer klar, dass die Divergenz dieser Vektoren dann ungleich 0 sein muss. Aber das mache ich jetzt. Ich überlege mir jetzt eine Formel und bilde die Divergenz davon.

nudeln2 aktiv_icon

16:35 Uhr, 18.10.2017

OK, ich habe mich jetzt für folgende Formel entschieden:

y = e^{- x}

Diese Funktion schaut folgendermaßen aus: www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(e%5E(-x)),+x+%3D+0..3

Wenn ich diese Formel nun für

r_{3}

verwende, erhalte ich:

\vec{r} = (0, 0, e^{- x_{3}})

Das

x_{3}

entspricht der z-Koordinate meines 3dimensionalen Koordinatensystems (das entspricht der Tiefe des Rohrs).

Schaue ich mir von meinem Koordinatensystem nur die

x_{2}

- und

x_{3}

-Achse an, erhalte die angehängte Grafik.

r_{1}

und

r_{2}

sind immer 0, das

r_{3}

wird aber immer kleiner. Und die Divergenz liefert nun www.wolframalpha.com/input/?i=div+%5B0,+0,+e%5E(-z)%5D

Und so etwas habe ich mir erwartet. Der Rotationsvektor wird immer kleiner, also habe ich eine Senke, also bekomme ich für die Divergenz immer etwas negatives. Die Divergenz schaut also folgendermaßen aus: www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-e%5E(-x),+x+%3D+0..3

Ich glaube, dieses Beispiel zeigt ganz gut, warum ich nicht verstehe, warum

d i v (r o t \vec{v}) = 0

sein soll. Allerdings gehe ich schon davon aus, dass der Prof Recht hat. Es ist also die Frage, was ich hier falsch verstehe.?.?

P. S.: die Links bitte vollständig kopieren. Klickt ihr einfach nur drauf, fehlt dann ein Teil der URL.

ledum aktiv_icon

22:58 Uhr, 18.10.2017

Hallo
du kannst nicht einfach einen Vektor für rot(v) einsetzen, sondern musst schon ein

v

angeben, damit du ein

v

hast deiner Form kann ja

z . B

die Form

v_{1} = f (x_{1}) \cdot f (z)

haben,

v_{2} = - e^{- x_{3}} \cdot x_{1} + f (x_{3}) \cdot g (x_{3})

beliebige Funktion von wie kriegst du dann die anderen Teile

= 0

?
also du kannst nicht beliebige Vektoren rot(v) nehmen und nichts über

v

sagen, Du hast ja eine Strömung in

z

Richtung, da kann nicht

v_{1}

und

v_{2}

beliebig sein , die zusammen sollen ja eine Art Kreisbewegung machen, also

v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = r {(x, y)}^{2} v_{z} \neq 0

Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

10:59 Uhr, 19.10.2017

Vielleicht wäre ein anderes Beispiel besser gewesen. Bei dem Folgenden gibt es keine Strömung in z-Richtung. Dieses Beispiel ist auch gar nichts exotisches. Man findet es bei Materialtests.

Angenommen, wir möchten die Eigenschaften einer neuen Legierung erforschen. Dazu fertigen wir einen Stab an. Diesen testen wir auf Druck, Zug, Scherung ... und auch Torsion. Z. B. siehe Grafik auf de.wikipedia.org/wiki/Torsionsmoment In diesem Beispiel gibt es Translation mehr, nur noch schichtweise Rotation. Unten dreht sich der Stab gar nicht, oben maximal. Dazwischen nimmt der Drehwinkel konstant linear ab.

Da der Teststab ein Festkörper ist, kann man sich den Stab in viele Scheiben aufgeteilt vorstellen. Im Extremfall pro Moleküllage eine Scheibe. Jede dieser Scheiben dreht sich dann um einen gewissen Winkel.

Jeder Scheibe kann man dann einen Rotationsvektor zuordnen. Und die Divergenz über diese Rotationsvektoren liefert mir dann wieder ein Ergebnis != 0.

Ich werde jetzt noch versuchen, die Formeln zu finden.

ledum aktiv_icon

12:11 Uhr, 19.10.2017

Hallo
ich glaube wir reden aneinander vorbei. Du hast eine feste Vorstellung wie ein Vektor rot(v) aussehen kann oder soll. Dazu kannst du aber kein stetiges Vertorfeld angeben. Dass man ganz allgemein zeigen kann, dass ein 2 mal differezierbares Vektorfeld der Beziehung divrot(v)=0 gehorcht ist dir dabei so wenig wichtig, dass du es nichtmal nachgerechnet hast. Dabei wird benutzt, dass die zweiten partiellen Ableitungen symmetrisch sind. also

\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial x}

schon das "anschaulich" zu sehen gelingt dir wohl kaum. 2 te Ableitungen, um die es sich ja insgesamt hier handelt zu "veranschaulichen" ist wohl kaum möglich. Man muss sich hier auf die Rechnung verlassen, die genau die unanschauliche Symmetrie der zweiten Ableitungen benutzt.
rechne wirklich mal div deines richtigen Ausdrucks für rot(v) nach, die Rechnung ist einfach.
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

16:11 Uhr, 19.10.2017

"Du hast eine feste Vorstellung wie ein Vektor rot(v) aussehen kann oder soll."

Wenn ich dieses rot richtig verstanden habe, kann es entweder nur einen einzigen Vektor liefern (z. B. bei einer Festkörperrotation) oder ein ganzes Vektorfeld (je Punkt ein Vektor).

In meinem vorherigen Thema www.onlinemathe.de/forum/rotgrad-lambda-0 habe ich mir die Situation mittels 2er Grafiken veranschaulicht. So etwas ähnliches suche ich hier wieder. Etwas, worauf man nur einen Blick werfen muss, und schon ist alles klar. Ohne dass man dazu zweite Ableitungen studieren muss. Die meisten Männer schauen halt lieber auf Grafiken statt auf Texte :-)

"rechne wirklich mal div deines richtigen Ausdrucks für rot(v) nach, die Rechnung ist einfach."

Geht das doch irgendwie mit diesem Gleichungssystem, das ich am 12:27 Uhr, 18.10.2017 eingetragen habe? Denn dann würde ich folgendes versuchen:

v_{1} = . . . = 0

v_{2} = . . . = 0

v_{3} = . . . = z

Und das dann für z = 0 bis z. B. vielleicht 10. In Anlehnung an das Torsions-Beispiel.

Kennst du ein vernünftiges Vektorfeld

\vec{v}

, von dem man ein

d i v (r o t (\vec{[} v

mittels Nabla-Operator berechnen kann?

Es gibt ja leider diese Stolperfallen. Nur weil etwas rotiert, muss nicht unbedingt etwas Vernünftiges rauskommen, wenn man mit dem Nabla-Operator eine Rotation berechnet. Das ist mir z. B. beim magnetischen Feld passiert. Ist mir ein 0-Vektor rausgekommen. Habe dann auch den Grund herausgefunden. Das Feld ist nicht 1-zusammenhängend, weil auf der Rotationsachse das Magnetfeld undefiniert ist :-/

Den mathematischen Beweis habe ich übrigens schon auf www.iag.uni-hannover.de/fileadmin/institut/team/hulek/AnalysisB/AnaBKap11.pdf gefunden. Nachdem die Reihenfolge von partiellen Ableitungen egal ist, kürzt sich alles weg. Nur leider kann ich mir das nicht bildlich vorstellen. Und dass das so logisch ist, kann ich darin leider auch nicht erkennen.

ledum aktiv_icon

17:00 Uhr, 19.10.2017

Hallo
ein Vektorfeld wie du es beschreibst, in

z

Richtung immer kleinere Kreisgescheindigkeiten könnte so aussehen

(- y \cdot e^{- z}, x \cdot e^{- z}, c) d . h

der Betrag der Kreis- Geschwindigkeiten in den

x - y

Ebenen ist

\sqrt{(x^{2} + y^{2})} e^{- z},

also was du willst die Geschwindigkeit ist 0 im Mittelpunkt und nimmt mit dem Radius, also nach aussen hin zu. die Geschwindigkeit in

z -

Richtung =Strömungsrichtung vereinfacht konstant. -du kannst sie noch vom Radius also

x^{2} + x^{2}

abhängig machen, wenn du berücksichtigst das

v_{z}

am Rande des Rohres kleiner ist als in der Mitte also statt

c' = c + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + a}}

(das

a,

damit man mit

x = y = 0

keine Schwierigkeit hat.)
das sollte deiner Vorstellung entsprechen
berechne die rot davon, dabei sind natürlich die ersten Komponenten nicht 0 wie du gerne willst,

d, h,

du stellst dir rot(v) bei deiner Strömung völlig falsch vor. es gibt kein "rotierendes! Vektorfeld mit rot(v)=(0,0,f(x,y,z))
vielleicht siehst du dann ein, dass deine Vorstellungen von dem Vektor rot(v) einfach falsch sind .
da divrot(v)=0 wirklich nachrechenbar gilt kannst du das GS was du dir denkst nicht lösen.
warum bildest du nicht endlich mal div von deiner rot in dem post von

12.27

(ohne das

= 0)

und für die Leute, die für alles Bildchen brauchen erkläre erst mal die anschauliche Bedeutung von

\frac{\partial^{2} f (x, y, z)}{\partial x \partial y}

was ja nur ein kleiner Teil der Def von div rot ist,
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

18:39 Uhr, 19.10.2017

Vielen Dank für deinen Eintrag.

Ich habe dein Beispiel jetzt durchgerechnet und angeschaut. Wie es sein soll, ist bei der Berechnung 0 rausgekommen. Grafiken habe ich mir auch dazu gemacht. Siehe Anhang.

Ich schaue mir das Volumen scheibenweise bei x = 0, 1 und 2 an.

Hier habe ich die Feldlinien hellrot eingezeichnet und ein paar Vektoren

\vec{r} = r o t \vec{v}

in rot (für den rot-Operator logischerweise die Farbe rot :-D)).

Wenn ich das richtig verstehe, wird je z-Ebene jeder Vektor immer um den Faktor e kleiner. Die Winkel der Vektoren verändern sich aber zwischen den Ebenen nicht.

Richtig?

P. S. kenne leider keine Webseite, wo ich einen 3D-Vektor-Plot machen könnte, sorry.

ledum aktiv_icon

18:52 Uhr, 19.10.2017

Hallo
ja, die linken Bilder in den einzelnen Ebenen sind richtig, was sie rechten zeigen sollen weiss ich nicht.
ist es so wie du dir dein Strömung vorgestellt hast, siehst du dass die 2 ersten Komponenten nicht 0 sein können?
kurz den rot Vektor kann man sich nicht gut vorstellen, das Geschwindigkeitsfeld

v

aber schon , wenn die rechte Zeichnung

v

in zRichtung anzeigen soll ist sie falsch,

v_{_} z

hatte ich konstant angenommen, was in einem Rohr ja wohl richtig ist, es kann höchstens von

y

also Abstand zur Wand abhängen.
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

19:31 Uhr, 19.10.2017

Ausgegangen bin ich von:

\vec{v} = (- y * e^{- z}, x * e^{- z}, c)

Und für

\vec{r} = r o t \vec{v}

habe ich folgendes rausbekommen:

\vec{r} = r o t \vec{v} = (x * e^{- z}, y * e^{- z}, 2 * e^{- z})

Je z sieht man

- links die x-/y-Ebene und
- rechts die y-/z-Ebene.

Allerdings habe ich die Vektoren etwas unglücklich eingezeichnet, sehe ich gerade. Die Längen sollten hoffentlich stimmen, nur deren z-Position (von wo aus die Vektoren starten) passt nicht. Das habe ich unglücklich gezeichnet.

Eine neue Variante, die jetzt hoffentlich stimmt, jetzt neu im Anhang.

Spielt denn die Konstante c letztendlich (also nach der rot-Berechnung) noch irgendeine Rolle?

ledum aktiv_icon

23:18 Uhr, 19.10.2017

Hallo
in der rechten Zeichnung ist doch

v_{z}

gegen

y

aufgetragen, aber

v_{z}

bzw

v_{3} = c

also immer gleich groß in allen 3 Ebenen,
das ändert natürlich an rot

v

nichts, aber da du ja ne Strömung haben willst ( ich dachte in +zRichtung, warum gehen die Pfeile nach links?) muss

v_{3} \neq 0

sein, und wenn es in positiver Richtung strömt

c > 0

es fehlt dein Kommentar, ob das

v

deiner vorgestellten Strömung grob entspricht, und zeigt, dass div rot

v

auch hier

= 0

ist, und dass du dir rot

v

falsch vorstellst!
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

12:03 Uhr, 20.10.2017

Rechts habe ich versucht, die

r_{z}

-Komponente von

\vec{r}

einzuzeichnen.

Links

r_{x}

r_{y}

-Komponenten, rechts

r_{z}

r_{y}

-Komponenten von

\vec{r} = r o t \vec{v}

Ich zeichne das auch noch ein in den Grafiken. Siehe Anhang. Danke für den Hinweis.

Ich bin mir noch nicht sicher, aber ich glaube, ich stelle mir das div falsch vor.

ledum aktiv_icon

12:50 Uhr, 20.10.2017

Hallo
ich verstehe deine Graphik nun gar nicht mehr.
links: in der

x - y

Ebenen sind die Kreise als das Vektorfeld eingezeichnet, dabei jeweils einer der auf dem Vektorfeld als Beispiel der Größe der Vektoren auf dem jeweiligen Kreis. warum das plötzlich

r

statt

v

heisst und warum darüber

\frac{r_{x}}{r_{y}}

steht verstehe ich nicht. rechts ist in einem Schnitt der

z - y

Ebene die Geschwindigkeit in

z -

Richtung eingezeichnet, sie ist nicht konstant in den verschiedenen Ebenen und zeigt in negative

z

Richtung, also nochmal, warum nimmt die Stömungsgeschwindigkeit mit wachsendem

z

ab, in meinem Vorschlag ist v_z=const=c, und warum negativ?
wie kannst du dir eine Strömung vorstellen, die längs eines Rohres immer langsamer wird? in welcher Richtung wird dein Rohr durchströmt?
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

16:11 Uhr, 21.10.2017

\vec{v}

ist bei mir das Geschwindigkeits-Vektorfeld. Davon gehen alle Berechnungen aus.

\vec{r}

ist der Rotationsvektor, also

\vec{r} = r o t (\vec{v})

Und dieses

\vec{r}

habe ich versucht, grafisch darzustellen. Da ich mir schwer tue, dieses Vektorfeld 3dimensional zu zeichnen, habe ich es je z-Wert in 2 Grafiken aufgeteilt.

Das Ergebnis von

r o t (\vec{v})

ist:

(x * e^{- z}, y * e^{- z}, 2 * e^{- z})

Und in den rechten Grafiken habe ich versucht, für die z-Werte 0, 1 und 2 jeweils die Werte für die z-Komponente - also für

2 * e^{- z}

- einzuzeichnen. Bei z = 0 habe ich den Wert 2, bei z = 1 habe ich

\frac{2}{e}

und für z = 2 den Wert

\frac{2}{e^{2}}

ledum aktiv_icon

02:02 Uhr, 22.10.2017

Hallo
du hast mit den linken Bildern

v

gezeichnet nicht rot

v,

(der Vektor

(x, y)

in der Ebene ist doch radial, nicht tangential an Kreise.

r_{z}

ist dann richtig.
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

09:38 Uhr, 23.10.2017

Ah, verdammt, du hast Recht. Dumm von mir. Ich werde mir 2 Grafiken machen. Eines für v, eines für r.

nudeln2 aktiv_icon

11:56 Uhr, 23.10.2017

Neue Grafik siehe Anhang. Stimmt jetzt hoffentlich.

Mir ist grad etwas durch den Kopf geschossen (keine Kugel :-D) ).

Schaut man sich in der Grafik das Diagramm rechts oben an (bei z = 0), erkennt man, dass der Vektor immer länger wird, je weiter man sich vom Koordinatenursprung entfernt. Geht der Radius eines Punktes gegen unendlich, geht auch

∣ \vec{r} ∣

gegen unendlich. D. h. die Summe aller

∣ \vec{r} ∣

bei einem bestimmten z geht ebenfalls gegen unendlich.

Das gilt nun aber auch für alle anderen z, nicht nur z = 0.

Wenn also alle

∣ \vec{r} ∣

aller z gegen unendlich gehen ... ist das nun der Grund, warum

d i v (\vec{r}) = 0

ist? Aus Sicht vom div-Operator schaut jede z-Ebene gleich aus? Jede Ebene liefert etwas unendliches? Also ist aus Sicht des div-Operators die Differenz zwischen allen z-Ebenen praktisch 0?

ledum aktiv_icon

14:08 Uhr, 23.10.2017

Hallo
unser Modell war ein Rohr! ein Vektorfeld der Art, wie ich es beschrieb, kann nicht bis unendlich reichen ! dein Werbe hat doch auch an seinen schnellsten Stellen sicher weniger als Schallgeschwindigkeit.
und natürlich gilt rot

v

auch nur innerhalb deines Rohres!
langsam versteh ich wirklich nicht mehr was du willst.
Anfangs war es die Frage, wieso diarot bei deinem Strömungsmodell im Rohr 0 sein kann, dazu hab ich ein deinen Vorstellungen angepasstes Modell gemacht, du hast rot

v

gesehen und divrot=0 bestimmt, auch gesehen dass rot

v

nicht irgendwie "rotiert"
dir zweite

3 d

Ableitungen anschaulich vorzustellen wird dir kaum gelingen, ich sagte dir schon dass es wohl kaum eine Möglichkeit gibt sich anschaulich vorzustellen warum f_(xy)=f_(yx) ist und das ist nur ein Teil deines divrot.
Also sag, was genau du nun noch willst, ich verlier die Geduld an diesem thread.
Gruß ledum

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