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Vektor orthogonal zu Ebene und anderes
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: eben, orthogonal, Pyramide, Vektor, Volumen
 
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Ich versuche seit ewigen Zeiten ein Selbststudium für Montag zu lösen. Mittlerweile ist die Verzweiflung groß und niemand, auch aus den LK's, kann mir helfen und das Internet gibt auch noch nichts her. Du bist also meine letzte Hoffnung. ;-) Wir haben eine Pyramide mit 3-seitiger Grundfläche. und ist die Spitze mit . 1. Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB! Zeige, dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt FE hat. Da kommt bei mir mit der Flächeninhalt FE raus. Keine Ahnung, ob mein Lehrer auf dem Blatt einen Tippfehler hat. ;-) 2. Leite her, dass der Vektor zur Ebene durch und orthogonal ist! Bestimme damit die Gleichung einer zu der Ebene orthogonalen Gerade durch D. Keine Ahnung! 3. Bestimme den Schnittpunkt von und und damit das Volumen der Pyramide! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Pyramide (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Raummessung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt Parallelverschiebung Raummessung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Hallo, bei 1 bekomme ich auch 121 heraus. M=1/2(A+B) zu 2: wie hast Du 1 gerechnet - AB kreuz AC? Jedenfalls ist AB kreuz AC ein Vielfaches von (2/6/9) und steht auf ABC senkrecht. Die Gerade ist dann x=d+my*(2/6/9) Bekommst Du damit 3 hin? Gruß Stephan |
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Das da bei dir auch rauskommt ist ja schonmal super! Das lässt hoffen! Ich hab bei 1 zuerst den Mittelpunkt von AB ausgerechnet. Der liegt ja bei und dann hab ich den Betrag vom Vektor CM ausgerechnet und da kam raus. Und dann die Strecke ab (also mal von dem Betrag mal und dann kam raus. Aber warum hat der 11?! Vielleicht ein Druckfehler. Da kommt man ja mit der Wurzel dann drauf, aber das macht ja überhaupt keinen Sinn. Das ist hier bestimmt nur Zufall. Jetzt verstehe ich leider nicht, was du mit AB kreuz AC meinst. Kannst du das noch etwas ausführlicher erklären? Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!!! Gruß :-) |
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Da muss ich jetzt mal zurückfragen: kennst Du das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Verktoren u kreuz v nicht? Dann müsste ich mir nämlich etwas neues überlegen, aber es ist eigentlich die Standardtechnik um einen Normalenvektor einer Ebene zu bestimmen. Und wenn nicht, kennst Du das Skalarprodukt zweier Vektoren? |
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Das kommt im Buch erst nach der Aufgabe. Aber das Selbststudium ist eine Erweiterung der Aufgabe, dann gehe ich mal davon aus, dass der das einfach vergessen hat, dass wir das noch nicht können. Aber ich hab in unserer super Formelsammlung nachgeguckt und das sieht noch halbwegs verständlich aus. Warum nimmst du AB kreuz AC? Und wie müsste ich das dann mit dem Einsetzen in die Vektorproduktformel machen? Oder geht das vielleicht auch mit dem Skalarprodukt? Das haben wir nämlich schon. Wenn nicht, oder wenn dir nichts gutes einfällt, dann kannst du das einfach mit dem Vektorprodukt erklären. Das ist ja dann ohnehin der nächste Schritt. ;-) |
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Dann machen wir das eben mit dem Skalarprodukt. Du sollst ja nur zeigen, dass der gegebene Vektor auf der ebene senkrecht (oder genauer normal) steht. Die Richtungsvektoren der Ebene sind z. B. AB und AC (zwei Seiten des Dreiecks) Prüfe, dass das Skalarprodukt von AB mit dem vorgegebenen Vektor den Wert null hat und ebenso AC mit dem Vektor (2/6/9). Skalarprodukt 0 heißt ja gerade, dass die beiden Vektoren senkrecht stehen. |
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Dann machen wir das eben mit dem Skalarprodukt. Du sollst ja nur zeigen, dass der gegebene Vektor auf der ebene senkrecht (oder genauer normal) steht. Die Richtungsvektoren der Ebene sind z. B. AB und AC (zwei Seiten des Dreiecks) Prüfe, dass das Skalarprodukt von AB mit dem vorgegebenen Vektor den Wert null hat und ebenso AC mit dem Vektor (2/6/9). Skalarprodukt 0 heißt ja gerade, dass die beiden Vektoren senkrecht stehen. |
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Ok, das hat geklappt. :-) AB* und AC* Oder? Und wie genau bestimmt man dann die zur Ebene orthogonale Gerade durch D? Oben hast du ja geschrieben, dass die x=d+my*(2/6/9) ist. Wir fangen immer mit an oder ist das hier was anderes? Das Ergebniss kann ich irgenwie nicht nachvollziehen. Dazu reichen meine Mathekenntnisse nicht aus. ;-) Kannst du deine Rechnung erklären oder mir einen Tipp geben? :-) |
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Hallo, im dreidimensionalen Raum geht so etwas wie y=2x-3 nicht. Kennst Du nicht die Parameterform einer Geraden , wobei a ein Aufpunktvektor und v ein Richtungsvektor ist? Hier ist a dein D und v der zur Ebene senkrechte Vektor. Gruß Stephan
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Also das, was du als Aufpunktvektor hast, haben wir als Ortsvektor. Aber das ist ja das selbe. :-) Und dieses Zeichen nach dem Plus ist das oder wie das heißt? |
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Bei mir ist das ein my, aber das kann auch ein phi oder ein lambda oder ein anderer (griechischer) Parameter sein, das ist nicht wichtig. |
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Ok. Das hat mich verwirrt, weil ich das nicht als my erkannt habe, weil das da eigentlich auch zur Geradengleichung gehört. Aber das ist jetzt klar. Danke! Und wie bestimme ich jetzt den Schnittpunkt? Ich habe ja die Ebenengleichung und die Geradengleichung . |
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Setze die beiden Gleichungen gleich, rechne aus und setze das wieder in die Geradengleichung ein. |
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Ich hab jetzt ausgerechnet und raus Stimmt das?! |
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Nein, das geht so nicht.
Wenn Du die beiden Gleichungen gleich setzt dann bildet jede Zeile eine Gleichung. . Das ist also ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und daraus kannst du (und und berechnen, das sind Zahlen, keine Vektoren. |
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Ok, das habe ich jetzt gemacht und für für und für raus. Aber wenn ich das jetzt wieder in die Geradengleichung einsetzte, dann bekommt man wieder den Mittelpunkt der Strecke AB, also raus. Aber dann kann doch irgendwas nicht stimmen, weil die Gerade ja orthogonal zu Ebene sein muss...., oder? |
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Ich habe es zwar nicht gerechnet, aber was spricht dagegen, dass senkrecht über dem Streckenmittelpunkt steht.
Setze probeweise und in die Ebenengleichung ein. Kommt derselbe Punkt heraus? |
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Ja stimmt, das macht jetzt doch Sinn. ;-) Ja, dass kommt auch raus, wenn ich und in die Ebenengleichung einsetzte. Bei der Berechnung vom Volumen der Pyramide ist jetzt also von Punkt zu Punkt die Höhe, oder? Dann müsste ich die Strecke jetzt also ausrechnen und dann in die Formal einsetzten und dann bin ich fertig? |
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Ja genau, Grundfläche Höhe. |
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Ok. Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und noch ein schönes Wochenende. :-) |
