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Verhalten von Funktionswerten

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktion, Funktionswert, oo, unendlich, Verhalten

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Chocoholic

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18:14 Uhr, 21.05.2012

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Hallo,

ich schreibe demnächst eine Klausur und bleibe bei einem Aufgabentyp immer hängen:
Das Verhalten von Funktionswerten bestimmen.

Bsp:

f (x) = e^{- x} + (- x^{2} + 4)

Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von

f

für

x \to \infty

bzw.

x \to - \infty

Kann mir vielleicht jemand "ausführlich" erklären wie ich diese Art Aufgaben löse?
Ich verstehe es absolut nicht.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Lösung der Beispielaufgabe:

x \to \infty = f (x) \to 0

x \to - \infty = f (x) \to - \infty

Dankeschön im Vorraus. :-)

Liebe Grüße,
Chocoholic.♥

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

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whyn0t

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18:15 Uhr, 21.05.2012

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also deine funktion ist:

f (x) = e^{- x} \cdot (- x^{2} + 4)

sehe ich das richtig oder steht die hintere klammer noch im exponenten?

Chocoholic

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18:18 Uhr, 21.05.2012

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Ja so ist es richtig, habe es gerade in der Frage korrigiert.

Antwort

whyn0t

whyn0t aktiv_icon

18:27 Uhr, 21.05.2012

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also gut.

f (x) = e^{- x} \cdot (- x^{2} + 4) = \frac{- x^{2} + 4}{e^{x}}

für

x \to \infty

wird der nenner unendlich groß. Nichts wächst schneller als die e-Fkt also auch nicht etwa

(- x^{2} + 4)

. Wenn der Nenner sehr groß wird wird der Bruch sehr klein und geht damit gegen null.

für

x \to - \infty

geht

e^{- x} \to \infty

weil

e^{- - \infty} = e^{+ \infty} \to \infty

du hast also

e^{- x} \cdot (- x^{2} + 4) = \infty \cdot (- \infty^{2} + 4) = \infty \cdot (- \infty) \to - \infty

Antwort

whyn0t

whyn0t aktiv_icon

18:27 Uhr, 21.05.2012

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Das wäre jetzt eine sehr unmathematische erklärung. Kennst du die regel von Lhospital?

Chocoholic

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18:29 Uhr, 21.05.2012

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Danke, das hilft mir schon ein bisschen weiter. :-)
Nein, ich habe von der Regel noch nie was gehört..

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whyn0t

whyn0t aktiv_icon

18:32 Uhr, 21.05.2012

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hm okay. Dann überlegst du dir am besten für jeden Term deiner funktion was passiert wenn du

\infty

oder

- \infty

einsetz. dann musst du nur noch überlegen welcher schneller gegen

\infty

geht. hast du

z . b

etwas wie

\frac{x^{20}}{e^{x}}

mit

x \to \infty

geht das ganze gegen 0 weil das

e^{x}

immer schneller wächst.

oder etwas wie

\frac{sin (x)}{x}

für

x \to \infty

geht auch gegen 0 weil das

sin (x)

niemals größer als 1 werden kann

Chocoholic

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18:37 Uhr, 21.05.2012

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Also wenn

e

im Nenner steht, geht das ganze gegen Null. Ist das richtig?
So wie ich das jetzt vertanden habe, muss man das

\infty

immer in das

x

einsetzen und dann mit einem bisschen Vorstellungsvermögen überprüfen, ob das Ganze gegen

\infty, - \infty

oder 0 geht?!

Antwort

whyn0t

whyn0t aktiv_icon

19:40 Uhr, 21.05.2012

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so ist es

Frage beantwortet

Chocoholic

Chocoholic aktiv_icon

20:24 Uhr, 21.05.2012

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Okay, danke für deine Hilfe. :-)

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