Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Verschiebung und Drehung eines Rechtecks mit Kniff

Verschiebung und Drehung eines Rechtecks mit Kniff

Schüler

Tags: Drehung, Matrix, Rechteck, Rotation, Verschiebung

Zinboo aktiv_icon

21:44 Uhr, 14.09.2010

Hi allerseits,

ich knoble nun bereits seit einigen Stunden an folgender Aufgabe:

Ich habe ein gedachtes Rechteck das seinen Mittelpunkt gedreht wird. Das gedrehte Rechteck soll das Ergebnis der Rechnung sein. Nun kommt die Krux. Ich 'vergesse' alle Angaben zu diesem Rechteck AUSSER den folgenden.

x|y-Koordinaten der linken, oberen Ecke des gedrehten Rechtecks
Drehungswinkel um den Mittelpunkt des gedachten Rechtecks
Höhe und Breite des Rechtecks

Anbei eine Zeichnung des Problems,
Das dunkelgraue rechteck ist dabei das 'gedachte' über das ich keine wirklichen angaben habe.

Das blaue Rechteck ist mein Ziel. Das hellgraue ist das was ich habe.

Ich habe an der Stelle an der ich das durchführe noch eine Beschränkung und zwar ist es mir nicht möglich eine Wurzel zu ziehen - falls dies überhaupt eine Rolle spielt.
Sinus sowie Cosinus-Funktionen sind allerdings möglich.

Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Knobelaufgabe helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mauthagoras aktiv_icon

10:31 Uhr, 15.09.2010

Hallo Zinboo,

also, ausgehend vom hellgrauen Rechteck müssen wir dies erstmal in die Mitte verschieben. Der aktuelle Mittelpunkt ist (durch normale Vektorrechnung)

M (X + \frac{b}{2} ∣ Y - \frac{h}{2})

. Wir müssen also das ganze Rechteck um das negative dieses Vektors verschieben. Dann ist die obere linke Ecke

E (- \frac{b}{2} ∣ \frac{h}{2})

.
Es ist wichtig, dass das gegebene

(X ∣ Y)

wirklich auf dem gleichen Kreis liegt wie das im ersten Schritt berechnete E. Das heißt, das gegebene Rechteck muss tatsächlich in den Kreis einbeschrieben werden können. Dadurch entstehen Bedingungen an

h

und

b

!
Jetzt brauchen wir noch den Winkel im Koordinatenursprung, der zwischen E und

(X ∣ Y)

liegt. Damit es leichter ist, wähle ich als Umweg die Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks, das man links über der x-Achse bilden kann. Der Winkel im Ursprung, der dann zwischen E und der x-Achse liegt, kann dann beschrieben werden durch

\tan α = - \frac{h / 2}{b / 2}

oder

α = ∣ \arctan (- \frac{h}{b}) ∣

(trotzdem genau nach den Vorzeichen sehen). Nach der Zeichung ist dann der eigentlich gesuchte Winkel

γ = 90 ° - α

.
Jetzt muss nur noch E um diesen Winkel gedreht werden, aber entgegengesetzt des mathematischen Drehsinns, also mit negativen Gamma:

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \cos (- γ) & - \sin (- γ) \\ \sin (- γ) & \cos (- γ) \end{array}) (\begin{array}{ccc} E_{1} \\ E_{2} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \cos (γ) & \sin (γ) \\ \sin (- γ) & \cos (γ) \end{array}) (\begin{array}{ccc} E_{1} \\ E_{2} \end{array})

.
Diese Drehmatrix kann auf alle Eckpunkte des Rechtecks angewandt werden.

Auch für andere Winkel, um die im Uhrzeigersinn gedreht werden soll, kann die Matrix natürlich verwendet werden.

An einer Stelle in der Matrix wundere ich mich gerade über die Vorzeichen, aber in einem von mir ausgedachten Beispiel klappt es genau mit den obigen Berechnungen.

Zinboo aktiv_icon

11:44 Uhr, 16.09.2010

Vielen Dank für die Antwort - ich denke damit komme ich auf jedenfall weiter

: o)

Leider habe ich im Moment keine Zeit das so einzubauen bin aber zuversichtlich das es funktioniert :-)

792233

791518

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?