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Verständnis der stochastischen Unabhängigkeit
Lehrer
Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Statistik, Stochastik, stochastische Unabhängigkeit
 
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Liebe Community, ich beschäftige mich grade mit dem Thema stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignissen etwas genauer und bin auf ein paar Fragezeichen gestoßen. Die Formeln zur Überprüfung der stochastischen Unabhängigkeit sind mir bekannt. Mir geht es eher um das Verständnis des Begriffs. Liege ich bisher richtig oder habe ich etwas falsch verstanden? Zwei Ereignisse sind dann unabhängig, wenn das Eintreten (oder nicht Eintreten) des einen Ereignisses A keine Auswirkung auf das Eintreten des anderen Ereignisses hat. Betrachte ich Mengen bedeutet das die Wahrscheinlichkeit entspricht grade der Wahrscheinlichkeit unter der Menge etwas zufällig zu ziehen, für das auch A erfüllt ist. ist zum Beispiel die Menge der Personen mit braunen Augen und die Menge der Personen mit Brille. Ist die Wahrscheinlichkeit jemanden mit Brille rauszusuchen gleich der Wahrscheinlichkeit unter denen mit braunen Augen einen mit Brille rauszusuchen, dann sind beide Ereignisse stochastisch unabhängig. Die Stochastische Unabhängigkeit ist damit doch etwas, das abhängig von der Stichprobe ist. Angenommen ich betrachte zwei verschiedene Klassen, dann können es in der einen Klasse stochastisch unabhängige und in der anderen abhängige Ereignisse sein. Betrachte ich dagegen einen Münzwurf oder das zufällige Ziehen von Spielkarten ist mir durch das Gesetz der großen Zahlen und der Laplace Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit bekannt und ich kann unabhängig von der Stichprobengröße eine Aussage über die stochastische Unabhängigkeit treffen. . A ist das Ereignis mit einem Würfel eine 6 zu würfeln und aus einem Kartenstapel ein Ass zu ziehen. und und P(AnB)= . Liegt diese Abhängigkeit von der Stichprobe dann daran, dass ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Brillenträger und Braune Augen in der Bevölkerung nicht kenne und damit meine Ereignisse in einer Stichprobe unabhängig und in der anderen abhängig sein können? Ich kann mir . nicht vorstellen, dass die Augenfarbe und das Abschneiden in einer Klausur zusammenhängen. Aber je nach Strichprobengröße erhalte ich eine stochastische Abhängigkeit. Liegt da das Problem im Verständnis des Begriffs? Stochastische Abhängigkeit meint eben nicht Kausalität und damit nicht das was man im normalen Sprachgebrauch unter abhängig und unabhängig versteht? Vielen Dank schonmal für die Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten Stochastische Unabhängigkeit |
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Es gibt 4 Möglichkeiten: Brillenträger mit braunen Augen BT mit anderen Augenfarben Nicht-Brillenträger mit braunen Augen Nicht-BT mit anderen Augenfarben Du musst deren jeweilige Anteile kennen, wenn bestimmte WKTen berechnen willst. Hier steht die Kombination von vornherein fest. Beim Kartenziehen und Würfeln gibt es auch 4 Möglichkeiten. Ass und 6 Ass und keine 6 Kein Ass und eine 6 Kein Ass und keine 6 Hier sind die WKTen für jeden und jeden Wurf bekannt. Die Kombination steht nicht fest, sie ergibt sich bei jedem Versuch aufs Neue. Unabhängig heißt, dass das Eintreten von unabhängig ist vom Eintreten von A. Was du nach dem Würfeln für eine Karte ziehst, ist unabhängig vom Würfeln. Bei der Frage, Brillenträger mit oder ohne braune Augenfarbe, steht schon von Anfang an fest, welche der Kombinationen vorliegt. Die Ausgangslage ist eine ganz andere. Es sind verschiedene Sachverhalte. Ob es einen Zusammenhang zwischen Augenfarbe und Intelligenz gibt, müsste man mit Statistiken belegen. Es könnte sein, dass vergleichsweise viele Braunäugige einen höheren IQ haben als Leute mit anderen Augenfarben. Ich halte es zwar für unwahrscheinlich, aber nicht unnmöglich. Es scheint andere Zusammenhänge bei den Augen zu geben: www.spektrum.de/news/intelligenz-groesse-der-pupillen-verraet-den-iq/1882357 |
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Tipp: www.onlinemathe.de/forum/Verstaendnisproblem-stochastische-Unabhaengigkeit |
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Vielen Dank für den Tipp, allerdings hätte ich da eine Nachfrage. In einer Antwort wird folgendes Beispiel angeführt: aller neu bestellten Autos werden in Autofarbe rot bestellt. aller Deutschen rauchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Auto meines Nachbarn rot? Jetzt verrate ich dir, dass mein Nachbar Raucher ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sein Auto denn nun rot? Wenn du mal ganz nüchtern drüber nachdenkst, dann kommst du hoffentlich auch zu dem Schluss, dass doch das eine mit dem andern überhaupt nichts zu tun hat. Die Tatsache, dass mein Nachbar Raucher ist, wird doch an der Wahrscheinlichkeit irgend einer Autofarbe nichts ändern. in anderen Worten: Die Angaben "Autofarbe" und "Raucher/Nichtraucher" sind doch UNABHÄNGIG voneinander. . die Wahrscheinlichkeit, dass sein Auto rot ist ändert sich nicht ist gleich), ob ich dich nun wissen lasse, ob er Raucher ist, oder nicht Rein logisch, würde ich dem zustimmen. Aber kann ich die Unabhängigkeit nicht nur dann ausschließen wenn ich . etwas über die Schnittwahrscheinlichkeit beider Ereignisse weiß? Nur weil eine kausale Unabhängigkeit klar ist, kann doch nicht nur auf Basis der Einzelwahrscheinlichkeiten auf eine stochastische Unabhägigkeit geschlossen werden. Oder liege ich da falsch? |
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Ist dir klar (?): "Mathematisch" lautet die Definition der 'Unabhängigkeit' p(rotes Auto) = p(rotes Auto unter der Bedingung Raucher) Rein logisch, "kausal" hatte ich in dem Beispiel gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein rotes Auto sich nicht ändert, wenn man dich wissen lässt, dass der Besitzer Raucher ist. Wo siehst du einen Unterschied zwischen dem einen und dem andern? |
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Die Definition ist mir bekannt. (Auch, dass im Fall der stochastischen Unabhängigkeit gilt) Ich finde, es gibt einen Unterschied zwischen stochastischer und kausaler Unabhängigkeit. Zwei Ereignisse können doch kausal unabhängig sein, aber dennoch stochastisch abhängig. Kausale Abhängigkeit ist genau das, was man darunter auch im Alltag versteht (zwei Ereignisse hängen in Ursache und Wirkung zusammen). Das würde ich sagen, ist im Beispiel das "Wenn du mal ganz nüchtern darüber nachdenkst,...". rein logisch ist für mich da auf jeden Fall die kausale Unabhängigkeit gegeben. Aber nur weil mir etwas logisch erscheint, kann die Stichprobe doch ein anderes Bild zeigen. Ich erwarte vielleicht auch eine stochastische Unabhängigkeit, aber ich kann ja auch falsch liegen. "D.h. die Wahrscheinlichkeit, dass sein Auto rot ist ändert sich nicht ist gleich), ob ich dich nun wissen lasse, ob er Raucher ist, oder nicht" Das ist doch genau das, was ich überprüfen will und nicht aufgrund einer "logischen Überlegung" einfach schließen kann. Oder lieg ich da jetzt komplett falsch. In der Statistik folgt aus Korrelation ja auch keine Kausalität. |
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Ich weiß nicht recht, was du sagen willst. Auf der einen Seite bestätigst du, dass Abhängigkeit zu einer Änderung der Wahrscheinlichkeit führen muss. Auf der anderen Seite scheinst du dies zu bestreiten. Meine beste Ahnung: Die Gleichheit der Wahrscheinlichkeit ist eine nötige Bedingung aber keine hinreichende Bedingung für Unabhängigkeit. Beispiel: Wenn man eine Münze wirft, dann erscheint mit Wahrscheinlichkeit Wappen. Wenn man aus einem (typisch französischen) Kartenstapel eine Karte zieht, dann ziehst du mit Wahrscheinlichkeit eine rote Karte (Herz oder Karo). Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich. Und natürlich sind die beiden Vorgänge völlig unabhängig voneinander. Nur weil du irgend eine Karte ziehst, wird sich die Wahrscheinlichkeit für's Münzwerfen wohl kaum ändern. Ergo: Die Gleichheit einer Wahrscheinlichkeit ist nötige Voraussetzung für Unabhängigkeit. Ob die beiden Vorgänge aber überhaupt irgend einen logischen Zusammenhang oder potenzielle Abhängigkeit haben, das kann die Gleichheit zweier Wahrscheinlichkeitswerte nicht beantworten. Da wirst du schon auch noch ein wenig Hirn und gesunden Sachverstand walten lassen müssen. |
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Du musst dir zunächst mal im Klaren darüber sein, dass die Wahrscheinlichkeit etwas Theoretisches und eine Stichprobe etwas Reelles ist, das vom theoretischen Wert abweichen kann. Nehmen wir das Beispiel vom roten Auto und den Rauchern. Rein logisch: unabhängig. Aber: Vielleich kaufen Raucher doch öfter ein rotes Auto, weil es sie (unbewusst) an die Glut der Zigarette erinnert. Dazu gibt es nun Testverfahren (z.B. Chi-quadrat-Test), mit dem man genau das untersucht. Man wählt ein paar hundert Autobesitzer aus, teilt sie in rote Raucher, nicht-rote Raucher, rote Nichtraucher und nicht-rote Nichtraucher ein und schaut sich an, wie stark die Werte der roten Raucher von 30 % abweicht. Eine Abweichung ist nun bei einer Statistik immer zu erwarten, aber je nach Anzahl der Gesamtheit mehr oder weniger stark. Mit bestimmten Rechenverfahren kann man dann z.B. behaupten, dass eine solche Abweichung z.B. nur in 5 % solcher Tests zufällig ist, also in 95 % "signifikant" vorhanden ist. Da man nicht alle Autobesitzer untersucht hat, sondern nur eine Stichprobe, kann man nie sicher sein. Bei einer anderen Stichprobe kann z.B. statt 5% nur 1% oder 10% herauskommen. Bei einer starken Abweichung spricht man von hoher Signifikanz, d.h., man kann fast sicher sein, dass beide untersuchte Eigenschaften nicht unabhängig sind. Trotzdem kann man auf sogenannte Scheinkorrelationen stoßen. 1. Beispiel: Der Klapperstorch bringt die Kinder Man kombiniert die Zahl der Störche in Deutschland mit der Geburtenzahl. Gerade als die Pille auf den Markt kam, nahm in D. die Anzahl der Störche stark ab. 2. Beispiel: Die Studenten in Münster pinkeln immer in die Aa (Flüsschen durch Münster). Man kombiniert die Anzahl der Studenten mit dem Wasserstand der Aa. Wenn im Frühjahr oder Herbst die Studenten aus den Semesterferien zurückkehren, steigt die Aa regelmäßig an. |
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