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Verständnisfrage Auflösung Ln mit e-Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: e-Funktion, Logarithmus

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11:18 Uhr, 27.06.2020

Hallo,

ich hätte eine generelle Verständnisfrage zum "eliminieren" des Logartihmus mit der e-Funktion.

Um die Sache die es geht, findet ihr als Beispiel als angehängtes Bild.

Linke Seite ist klar, aber die rechte Seite absolut nicht.

Es müsste doch

e^{\frac{1}{2}} \cdot (t^{2} + 9) + C

dastehen.
Das kann man weiter umformen zu

\sqrt{e} \cdot (t^{2} + 9) + C

Wie kommt man dann bitte auf das Ergebnis von

\sqrt{t^{2} + 9} \cdot e^{C 1}

sprich

\sqrt{t^{2} + 9} \cdot C

Also ich habe eine generelles Verständnisproblem sobald ein Vorfaktor vor dem Ln steht das mit der e-funktion aufzulösen.

Ein weiteres Beispiel wäre

\frac{8}{3} \cdot ln (x)

also

\frac{8 \cdot ln (x)}{3}

.
Wie wäre da die Lösung? Ich verstehe es einfach nicht.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 27.06.2020

Es gilt generell

e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}

und

\ln (a^{b}) = b \ln (a)

.

Deshalb z.B.

e^{0.5 \ln (z) + C} = e^{\ln (z^{0.5})} \cdot e^{C} = z^{0.5} \cdot e^{C} = \sqrt{z} \cdot e^{C}

N8eule

13:22 Uhr, 27.06.2020

1 .)

Leider schreibst du nur "log".
Daraus kann man eigentlich nicht ersehen, welchen Logarithmus du meinst.
Nur aus dem Zusammenhang heraus lässt sich erahnen, dass du oder das Programm hierunter eigentlich den natürlichen Logarithmus meinst.
Wenn du statt dessen "ln" schreibst, dann kann man daran ersehen, dass du den natürlichen Logarithmus meinst.

2 .)

Machen wir doch mal kleine, verständliche Einzelschrittchen:

ln (y) = \frac{1}{2} ln (t^{2} + 9) + c_{1}

ganze Gleichung exponieren:

y = e^{\frac{1}{2} \cdot ln (t^{2} + 9) + c_{1}}

So - und jetzt kommt der ganz klassische Schüler-Fehler, der wahrscheinlich schon tausendmal von jedem Lehrer jedem Schüler nahe gelegt wurde.

{(a + b)}^{2}

ist NICHT

= a^{2} + b^{2}

\sqrt{a + b}

ist NICHT

= \sqrt{a} + \sqrt{b}

sin (α + β)

ist NICHT

= sin (α) + sin (β)

(a + b)!

ist NICHT

= a! + b!

und ebenso, merk dir:

log (a + b)

ist NICHT

= log (a) + log (b)

Auf dein Beispiel übertragen:
Ich möchte wetten, du hast diesen Anfängerfehler begangen:

y = e^{\frac{1}{2} \cdot ln (t^{2} + 9) + c_{1}}

=NICHT=

e^{\frac{1}{2} \cdot ln (t^{2} + 9)} + e^{c_{1}}

Richtig aber wäre gewesen:

y = e^{\frac{1}{2} \cdot ln (t^{2} + 9) + c_{1}}

y = e^{ln ({(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) + c_{1}}

y = e^{ln ({(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})} \cdot e^{c_{1}}

y = {(t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot e^{c_{1}}

y = \sqrt{t^{2} + 9} \cdot e^{c_{1}}

und ggf.:

y = c_{2} \cdot \sqrt{t^{2} + 9}

N8eule

13:36 Uhr, 27.06.2020

"ein weiteres Beispiel wäre"

\frac{8}{3} \cdot ln (x)

"Wie wäre da die Lösung?"

3 .)

Streng wörtlich formal ist dein Ausdruck simpel ein Ausdruck, wie

2 x + 6

oder

99.0099

oder

sin (ω \cdot t + φ)

Welche Lösung hättest du denn da erwartet?
In anderen Worten, ein Ausdruck hat keine Lösung. Den kann man vielleicht umformen, vereinachen, umstellen,

o

.ä.. Aber verändern tut das nicht.

4 .)

Wir ahnen ja, dass du wiederum exponieren willst.
Da empfiehlt sich wiederum, zuerst vereinfachend umzuformen:

\frac{8}{3} \cdot ln (x) = ln (x^{\frac{8}{3}})

Wenn du nun exponierst:

e^{\frac{8}{3} \cdot ln (x)} = e^{ln (x^{\frac{8}{3}})} = x^{\frac{8}{3}}

piviertelquadrat aktiv_icon

17:35 Uhr, 27.06.2020

Ihr seit WELTKLASSE! Vielen vielen Dank, jetzt hab ich es verstanden und auch perfekt anwenden können :-)

@N8eule
Du hast fast richtig gelegen mit deiner Vermutung. Ich hab es aber noch bescheuerter gemacht :-D)
Ich sag jetzt besser nicht wie, sonst wird es noch peinlicher als eh schon. ;-)

Aber hauptsache ich hab es verstanden. Das passiert mir nicht wieder.

Dankeschön und euch ein schönes Wochenende!

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