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Vertauschbarkeit Limes und Integral/ Widerspruch

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Tags: Funktion, Funktionenfolgen, Integration

misantrophe aktiv_icon

21:36 Uhr, 12.04.2012

Hallo,
ich bin im moment ein bisschen verwirrt. folgendes problem:

ich habe ein gleichmäßig konvergente funktion

f_{n} (x) = \frac{x}{n^{2}} e^{\frac{- x}{n}}

diese konvergiert gleichmäßig in

R_{+}

gegen die Nullfunktion.
Das habe ich so berechnet

l i m_{(} n - > \infty) \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} = 0

f_{n} (x) - f (x) = ∣ \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} - 0 ∣ = \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} < = \frac{1}{n} < = \frac{1}{n} < ε

die zwischenschritte erspare ich euch mal. bin nicht der schnellste im eintippen xD
auch bei der abschätzung bin ich mir nicht ganz sicher.

ABER

l i m_{(} n - > \infty) \int_{0}^{\infty} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} = 1

Dies wäre doch aber ein Widerspruch zu dem Satz, dass man Limes und Integral bei der Grenzretbildung vertauschen dürfte, oder? ich sehe grade nicht, warum das kein Widerspruch ist?
Ich wäre echt dankbar, falls mich jemand aufklären könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

CKims aktiv_icon

22:00 Uhr, 12.04.2012

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} d x

ist eine kurzschreibweise fuer

lim_{n \to \infty} (lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} d x) \neq lim_{b \to \infty} (lim_{n \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{x}{n}}} d x)

du vertauscht also nicht nur grenzwert mit integral, sondern grenzwert mit grenzwert.

misantrophe aktiv_icon

22:13 Uhr, 12.04.2012

oha danke das ging ja fix :-)
okay wenn ich nun grenzwert und grenzwert vertausche, erklärt das auch weshalb bei der ersten ddie funktion gegen die nullfunktion konvergiert,

l i m_{n - > \infty} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{- x}{n}}} = 0

aber hier =1 steht?

l i m_{n - > \infty} \int_{0}^{1} \frac{x}{n^{2} e^{\frac{- x}{n}}} = 1

aber lieben dank für die schnelle antwort.

CKims aktiv_icon

22:17 Uhr, 12.04.2012

ja... durch das vertauschen der grenzwerte veraenderst du das ergebnis...

misantrophe aktiv_icon

22:24 Uhr, 12.04.2012

juti alles klar. vielen dank (:

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