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Verteilung des Maximums und ihre Dichtefunktion

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Dichtefunktion, Maximum, stetig, Verteilungsfunktion, Zufallsvariable

 
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ManuJo

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13:01 Uhr, 10.11.2019

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Hallo liebe Leute,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
Seien X1,....,Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung haben und F sei ihre gemeinsame Verteilungsfunktion mit F(x)=P(Xi≤x).

a) Sei Mn= max(X_1,....,X_n)das Maximum dieser Zufallsvariablen. Die Aufgabe besagt, dass ich nun zeigen soll, dass die Verteilungsfunktion F_Mn(x) =F(x)n ist.

b) Nehme an, dass die Zufallsvariablen Xi stetig sind, mit einer gemeinsamen (stückweise stetigen) Dichte f. Finde die Dichtefunktion f_Mn von MN.

Bei a) weiss ich wirklich nicht, wie man das lösen könnte. Bei b habe ich gedacht, dass die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion sei. Somit kann man doch mit Aufgabe a die Aufgabe b lösen, oder? Aber andererseits weiss ich, dass die Ableitung einer Funktion die Extremen ausgibt, wenn man sie null setzt. Aber irgendwie ist das doch ein Widerspruch, nicht?

Könnt ihr mir helfen! Das wäre sehr hilfreich für mich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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HAL9000

HAL9000

13:25 Uhr, 10.11.2019

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a) FMn(t)=P(Mn≤t)=P(max{X1,…,Xn}≤t)=!P(X1≤t,…,Xn≤t)=…

Mach dir klar, warum =! gilt. Wie es hinten dann weiter geht, ist hoffentlich klar.


> Bei b habe ich gedacht, dass die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion sei.

So ist es.
ManuJo

ManuJo aktiv_icon

17:24 Uhr, 11.11.2019

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Ehrlich gesagt weiss ich nicht, wie es hinten weiter geht. Liegt es vielleicht daran, dass alle n-Glieder X1,....,Xn kleiner als das t sind? Vor allem weil t grösser als n-Glieder sind? Und dementsprechend bei dem Verhältnis F(x)n steht?
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HAL9000

HAL9000

18:31 Uhr, 11.11.2019

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Der nächste Schritt ist die vorausgesetzte Unabhängigkeit der X1,…,Xn zu nutzen, wegen der ist nämlich

P(X1≤t,…,Xn≤t)=P(X1≤t)⋅…⋅P(Xn≤t)

Und da alle diese n Zufallgrößen jeweils Verteilungsfunktion F besitzen, steht rechts das n-fache Produkt von jeweils F(t), insgesamt also (F(t))n.
Frage beantwortet
ManuJo

ManuJo aktiv_icon

10:42 Uhr, 12.11.2019

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Ah ok...Ich verstehe nun mehr oder weniger, wieso diese Gleichung gilt. Ich möchte mich sehr bei Dir bedanken für deine Zeit und deine Mühe, mir alles zu erklären. Vielen Dank!