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Verteilung von Maximum und Minimum

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Verteilungsfunktionen

Tags: Maximum, Minimum, Verteilungsfunktion

Malou2016 aktiv_icon

03:51 Uhr, 10.12.2022

X_{1}, \dots, X_{n}

sind unabhängige Zufallsvariablen auf

(Ω, \ m a t h c a A, P)

mit Verteilung

P^{X_{i}} = P {X_{i} \leq x}

.

(a) Bestimme die Verteilung von

Y_{n} = m a x {X_{1}, \dots, X_{n}}

. Berechne also

P {Y_{n} \leq y}

.

(a) Bestimme die Verteilung von

Z_{n} = m i n {X_{1}, \dots, X_{n}}

. Berechne also

P {Z_{n} \leq z}

.

Hinweis:

{Y_{n} \leq y} = ⋂_{i = 1}^{n} {X_{i} \leq y}

sowie

{Y_{n} >} = ⋂_{i = 1}^{n} {X_{i} > z}

Leider fehlt mir hier komplett der Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

13:43 Uhr, 10.12.2022

Nach allgemein üblicher Symbolik kann man

P (X_{i} \leq x_{i})

mit Verteilungsmaß

P^{X_{i}} ((- \infty, x_{i}])

oder einfacher noch mit Verteilungsfunktion

F^{X_{i}} (x_{i})

ausdrücken.

Der zweite Teil deines Hinweises ist falsch und muss stattdessen

{Z_{n} > z} = ⋂_{i = 1}^{n} {X_{i} > z}

lauten. Damit gilt dann (mit "U" für Unabhängigkeit)

P (Y_{n} \leq y) = P (⋂_{i = 1}^{n} {X_{i} \leq y}) \overset{U}{=} \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq y)

P (Z_{n} > z) = P (⋂_{i = 1}^{n} {X_{i} > z}) \overset{U}{=} \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} > z)

.

Das ganze musst du jetzt nur noch mit den Verteilungsfunktionen von

X_{i}, Y_{n}, Z_{n}

ausdrücken.

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