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Verteilungsfunktion von Max 2er Zufallsvariablen?

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Laplace-Experiment, Maximum, Unabhängige Zufallsvariablen, Verteilungsfunktion

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22:35 Uhr, 21.08.2017

Gegeben: Zwei unabhängige Zufallsvariablen

X

und

Y

von denen die Verteilungsfunktion

F^{X}

udn

F^{Y}

bekannt sind. Zu untersuchen ist das Maximum

Z

von

X

und

Y,

also

Z := max (X, Y)

.
Wie sieht

P (X \leq x)

und

P (Y \leq y)

in Abhängigkeit von

F^{x}

und

F^{y}

aus? Wie sieht die Verteilungsfunktion

F^{Z} (z)

von

Z

aus?

Mein Ansatz ist erstmal

F^{X} : ℝ \to ℝ, F^{X} (x) := P (x \leq x)

und

F^{Y} : ℝ \to ℝ, F^{Y} (y) := P (y \leq y),

aber ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe so simpel gelöst werden kann.
Was bringt die Erläuterung, dass es sich um unabhängige Zufallsvariablen handelt?
Wie sieht eine Verteilungsfunktion mit zwei ZVen überhaupt aus, also was ändert sich an der Formel?
Es handelt sich um eine Klausuraufgabe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Laplace-Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

23:30 Uhr, 21.08.2017

Der zusammenhang zwischen

P (X \leq x)

und

F_{X}

P (Y \leq y)

und

F_{Y}

soll vermutlich nur eine kleine Vorbereitung auf die Eigentliche Aufgabe sein:
Wie sieht

F_{Z} (z)

aus?

Zu deinem Ansatz:

ℝ \to ℝ

Stimmt nicht. Welche Werte kann eine Verteilungsfunktion denn annehmen?

F_{X} (x) := P (x \leq x); F_{Y} (y) := P (y \leq y)

sind Ok wenn man die Zufallsvariable wie üblich groß schreibt:

F_{X} (x) := P (X \leq x); F_{Y} (y) := P (Y \leq y)

Zu Verteilung von

Z

Starte mit:

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (max {X, Y} \leq z)

max {X, Y} \leq z

kann man so umformen, dass man

X

und

Y

"getrennt" betrachten kann.

. .

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22:33 Uhr, 22.08.2017

Vielen Dank für die Antwort!
Die Aufgabe geht weiter:

X

ist ein Laplace-Experiment mit Ergebnissen 0 und 1 und

Y

ein Laplace Experiment mit

0,1

und 2. Skizziere

F^{Z}!

Z

nimmt ja bekanntlich nur das Maximum auf:

Bei

X = 0

und

Y = 0 \Rightarrow Z = X = 0

Bei

X = 0

und

Y = 1 \Rightarrow Z = Y = 1

Bei

X = 0

und

Y = 2 \Rightarrow Z = Y = 2

Bei

X = 1

und

Y = 0 \Rightarrow Z = X = 1

Bei

X = 1

und

Y = 1 \Rightarrow Z = X = 1

Bei

X = 1

und

Y = 2 \Rightarrow Z = Y = 2

Ich habe jetzt willkürlich angenommen, dass bei Patt, also beide

0,

dann

X

gewählt wird.

Die Verteilungsfunktion würde dann bei mir folgendermaßen aussehen:

Horizontale Werte sind:

Z = X = 0

und

F^{z} (Z = X = 0) = \frac{1}{6}, F^{z} (Z = Y = 1) = \frac{1}{6}; Z = Y = 2

und

F^{z} (Z = Y 2) = \frac{2}{6}

und

F^{z} (Z = X = 1) = \frac{2}{6}

Würde das so passen oder habe ich da einen Denkfehler?

pwmeyer aktiv_icon

22:46 Uhr, 22.08.2017

Hallo,

Du hast die Frage von Zombe nicht beantwortet.

Dein Antwort für

F^{Z}

stimmt doch schon allein formal nicht mit der Definition der Verteilungsfunktion überein

F^{Z}

ist doch eine Funktion von reellen Zahlen, also muss festliegen, was zum Beispiel

F (- 10), F (0), F (1.5), ...

. ist.

Gruß pwm

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22:50 Uhr, 22.08.2017

Laut unserem Skript bildet die Verteilungsfunktion von

ℝ

nach

ℝ

ab.
Das klingt, zumindest für mich, logisch.

pwmeyer aktiv_icon

23:44 Uhr, 22.08.2017

Ja, was ist dann im Beispiel zum Beispiel

f^{Z} (1)

?

Gruß pwm

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08:36 Uhr, 23.08.2017

Wäre das dann eine Abbildung von

F^{Z} : ℝ^{2} \to ℝ

? Also, dass die Abbildungsfunktion zwei Werte bekommt?

F^{Z} (1)

wäre in der Berechnung entweder

\frac{1}{3}

oder

\frac{1}{6}

oder addiert man alle Werte, die sich zu 1 ergeben, was ja

X = 0

und

Y = 1

oder

X = 1

und

Y = 0

wären? (Falls ja, was wäre dann mit

X = 1

und Y=1?). Sry, ich stehe gerade auf dem Schlauch.

pwmeyer aktiv_icon

09:24 Uhr, 23.08.2017

Hallo,

nein. Du hast doch selbst die Definition zitiert. Die Verteilungsfunktion ist eine Abbildung von

ℝ

nach

ℝ

F (z) = P (Z \leq z),

daher tatsächlich

F : ℝ \to [0,1]

Also nochmal die Frage: Was ist zum Beispiel

F^{Z} (1) = P (Z \leq 1)

?

Gruß pwm

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20:25 Uhr, 23.08.2017

Ein neuer Ansatz:

ℝ \to ℝ

wäre in diesem Fall

[0,1,2] \to [0,1]

F^{Z} (0) = P (Z \leq 0) = P (X = 0) \cap P (Y = 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

F^{Z} (1) = P (Z \leq 1) = (P (X = 1) \cap P (Y = 1)) \cup (P (X = 0) \cap P (Y = 1)) \cup (P (X = 1) \cap P (Y = 0)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

F^{Z} (2) = P (Z \leq 2) = (P (X = 0) \cap P (Y = 2)) \cup (P (X = 1) \cap P (Y = 2)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Das ist natürlich falsch, weil die Gesamtwahrscheinlichkeit nicht auf 1 kommt, aber ab hier bin ich wieder ratlos.

anonymous

23:39 Uhr, 23.08.2017

Was du hier ausrechnest ist nicht

P (Z \leq z)

sondern

P (Z = z)

Entprechend sind deine einzelergebnisse nicht die Verteilungsfunktion sondern die Dichte. Die Verteilungsfunktion ergibt sich dann als Summe über die einzelnen Beiträge.

Dieser Lösungweg ist allerdings recht kompliziert. EInfacher wäre es wenn du den ersten Teil der Aufgabe löst: Drücke

F_{Z} (z)

allgemein durch

F_{X} (x)

und

F_{Y} (y)

aus. Wenn du das geschafft hast dann ist der Zweite Teil den du hier berechnet hast extrem simpel.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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