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Vollständige Induktion mit doppelter Potenz

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Potenz, Potenzgesetze, Uni, voll. induktion, vollst. Induktion, Vollständig Induktion

guest25

11:54 Uhr, 04.05.2014

Hallo alle zusammen,

ich habe mich gerade hier neu angemeldet. Ich höre im Moment Analysis 1 an der Uni und habe ein Problem mit einer vollständigen Induktion.

Die Aufgabenstellung:

3^{2^{n}} - 1

ist durch

2^{n}

teilbar

\forall n \in ℕ

. Zeigen Sie dies mit vollständiger Induktion.

Ich schreibe jetzt hier mal auf, was ich bis jetzt schon hab:

IA:

n = 1 \to 3^{2^{1}} - 1 = 9 - 1 = 8

2^{n} = 2^{1} = 2 \to 8

ist durch 2 teilbar

\to

wahre Aussage.

IS:

n \to n + 1

zu zeigen gilt:

3^{2^{n + 1}} - 1

ist durch

2^{n + 1}

teilbar.

3^{2^{n + 1}} - 1 = 3^{(2^{n}) \cdot (2^{1})} - 1 = {(3^{2^{n}})}^{2} - 1 = (3^{2^{n}} + 1) \cdot (3^{2^{n}} - 1)

Jetzt kann ich ja auf den 2. Faktor die Induktionsvoraussetzung anwenden und sagen, dieser ist durch

2^{n}

teilbar. Aber wie zeige ich, dass der erste Faktor durch 2 teilbar ist und ich somit

2^{n + 1}

erhalte?

Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.
LG,
guest25

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Potenzgesetze - Einführung
Potenzgesetze - Fortgeschritten
Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

DrBoogie aktiv_icon

11:56 Uhr, 04.05.2014

"Aber wie zeige ich, dass der erste Faktor durch 2 teilbar"

3^{k}

ist immer ungerade
Summe von zwei ungeraden Zahlen ist immer gerade, also durch 2 teilbar :-)

Update. Tippfehler.

guest25

11:59 Uhr, 04.05.2014

reicht es wirklich, wenn ich das dann hinschreibe?

Also praktisch einfach hinschreiben, dass

3^{2^{n}}

nach Definition immer ungerade ist und da ich eine andere ungerade Zahl

(1)

dazu addiere, wird dieser Term gerade und ist somit durch 2 teilbar?

Muss ich hier wirklich nicht mehr umformen?

guest25

11:59 Uhr, 04.05.2014

reicht es wirklich, wenn ich das dann hinschreibe?

Also praktisch einfach hinschreiben, dass

3^{2^{n}}

nach Definition immer ungerade ist und da ich eine andere ungerade Zahl

(1)

dazu addiere, wird dieser Term gerade und ist somit durch 2 teilbar?

Muss ich hier wirklich nicht mehr umformen?

DrBoogie aktiv_icon

12:07 Uhr, 04.05.2014

"Muss ich hier wirklich nicht mehr umformen?"

Nein, muss man nicht, denn dass ein Produkt von ungeraden Zahlen ungerade ist und die Summe von zwei ungeraden Zahlen gerade ist, das lernt man doch in der 5. Klasse. :-)
Aber wenn Du es unbedingt willst, kannst Du natürlich es auch so beweisen:

3^{k} + 1 = (2 + 1)^{k} + 1 = (\sum_{i = 1}^{k} (\binom{k}{i}) 2^{i} + 1) + 1 = 2

mal irgendwas. :-)

guest25

12:17 Uhr, 04.05.2014

Super! Dankeschön für deine Hilfe :-)

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