 |
 |
 |
 |
 |
 |
Vollständige Induktion mit zwei Summen
Universität / Fachhochschule
Tags: Summe, Vollständige Induktion
 
|
  |
|---|
|
Hallo, also wie die vollständige Induktion im allgemeinen funtioniert weiß ich, aber nicht, wie das hier geht: Man zeige mit vollständiger Induktion Also für n=1 hab ich den Induktionsanfang gemacht, das passt auch noch, aber dann komm ich nur noch bis hierhin: ab hier komm ich nicht mehr weiter. Würden hier zwei Brüche dastehen würd ich das halt solange umformen, bis die Behauptung genauso dasteht wie oben, nur anstatt allen n, immer n+1. Aber wie mach ich das denn hier?? Ich wäre echt dankbar, wenn mir wer helfen könnte. Danke |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
|
 |
|
Hallo panirac das Problem ist, dass die Behauptung gar nicht stimmt! Schon für n = 2 stimmt es nicht mehr. Wenn in der Summe rechterhand im Nenner nicht (n+k) stehen würde, sondern 2k, dann sähe die Sache schon besser aus! Vielleicht handelt es sich bei dieser Aufgabe auch bewusst darum zu zeigen, dass man manchmal eine Verankerung machen kann, aber der Induktionsschritt nicht funktioniert. Alles klar? Gruss Paul |
|
|
|
Das heißt, ich komm hier nie auf das richtige Ergebnis, so lange ich auch rumrechne. Aber wie zeig ich das am besten, einfach, dass es für n=2 schon nicht mehr stimmt?? |
|
|
|
hallo panirac einfach, indem du in der linken Summe den Index von 1 bis 4 laufen lässt: 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 3/4 und in der rechten Summe lässt du den Index von 1 bis 2 laufen: 1/3 + 1/4 = 7/12 7/12 ist nich gleich 3/4 Wenn du übrigens in der 1. Summe jeweils 2 Summanden zusammenfasst, dann siehst du, dass bei der richtigen Formel eben 2k in Nenner stehen sollte, z.B für n = 4: 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 Alles klar? Gruss Paul |
|
|
|
hallo panirac einfach, indem du in der linken Summe den Index von 1 bis 4 laufen lässt: 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 7/24 und in der rechten Summe lässt du den Index von 1 bis 2 laufen: 1/3 + 1/4 = 7/12 7/12 ist nicht gleich 3/4 Alles klar? Gruss Paul |
 |
|
Du, bei mir kommt da aber bei beidem 7/12 raus. Also das gleiche. Hast du dich etwa verrechnet?? |
|
|
|
Hallo Panirac vergiss alles, was ich geschrieben habe!!! Ich habe mich gründlich verrechnet!! Die Summe linkerhand gibt ja sehr wohl 7/12. Es müsste also doch gehen! Ich versuchs mal! SORRY!!! Gruss Paul |
|
|
|
Kein Problem, ist ja nicht so, dass ich das jetzt stur abgeschrieben hätte. Aber bei dem anderen hab ich einfach keinen Peil... |
|
|
|
Kein Problem, ich hätt das ja eh nicht stur abgeschrieben *gg* Muss immer alles verstehen, hab da so einen Tick... |
|
|
|
Hallo panirac Wenn du bei der rechten Summe statt n (n+1) einsetzt, ergibt sich: SUMME 1/(n+1+k) ;k von 1 bis (n+1) Nun machst du eine Indexverschiebung: i läuft von 2 bis n+2 SUMME 1/(n+i) Nun lässt du den Index i von 1 bis n laufen, korrigierst aber den "Fehler", indem du den Wert für i=1 gleich wieder subtrahierst, aber für i = n+1 und i = n+2 addierst: Das gibt dann die SUMME von 1 bis n (1/(n+i), wie gehabt), mit folgender Korrektur: -1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) Zusammengefasst ergibt sich dafür 1/(2n+1)(2n+2) (beide Klammern im Nenner) Wenn du nun mit der linken Summe der Aufgabenstellung das entsprechende tust, also dein Index von 1 bis 2n+2 laufen lässt, dann aber die letzten beiden Summanden abspaltest, bekommst du für diese abgespalteten Summanden: 1/(2n+1) - 1/(2n+2) Wenn du das auch zusammenzählst, kommst du auf das Gleiche wie oben. Alles klar? Gruss Paul |
|
|
|
Hallo panirac Wenn du bei der rechten Summe statt n (n+1) einsetzt, ergibt sich: SUMME 1/(n+1+k) ;k von 1 bis (n+1) Nun machst du eine Indexverschiebung: i läuft von 2 bis n+2 SUMME 1/(n+i) Nun lässt du den Index i von 1 bis n laufen, korrigierst aber den "Fehler", indem du den Wert für i=1 gleich wieder subtrahierst, aber für i = n+1 und i = n+2 addierst: Das gibt dann die SUMME von 1 bis n (1/(n+i), wie gehabt), mit folgender Korrektur: -1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) Zusammengefasst ergibt sich dafür 1/(2n+1)(2n+2) (beide Klammern im Nenner) Wenn du nun mit der linken Summe der Aufgabenstellung das entsprechende tust, also dein Index von 1 bis 2n+2 laufen lässt, dann aber die letzten beiden Summanden abspaltest, bekommst du für diese abgespalteten Summanden: 1/(2n+1) - 1/(2n+2) Wenn du das auch zusammenzählst, kommst du auf das Gleiche wie oben. Alles klar? Gruss Paul |
|
|
|
Also irgendwie versteh ich das nicht. Du machst das so ganz anders, wie wir das in unseren Vorlesungen gemacht haben. Also, bisher hab ich den Induktionsanfang gemacht für n=1 und da stimmt das ganze, daher geh ich weiter zum Induktionsschritt: und dadurch ergibt sich: Der Letzte Schritt, bzw die letzte Summe folgt ja durch die Induktionsvoraussetzung. Ja und ab dem letzten Schritt komm ich nicht weiter. Zum Schluss müsst ich ja dann dastehen haben: So haben wir das jedenfalls immer in den Vorlesungen besprochen, nur eben nicht mit zwei Summen. Mein Problem ist eigentlich zu allererst einmal, wie ich den doofen Bruch als Summe schreiben kann, nur dann hab ich die Chance, dass ich die Summen zusammenfass. Aber mir fällt nichts ein, ohne dass ich nicht die Behaptung hernehmen müsste und das darf ich ja nicht.
|
|
|
|
Hallo panirac
zunächst als Vorbereitung:
Hierbei habe ich einfach eine Indexverschiebung gemacht. Wenn du das nicht glaubst, dann setze einfach mal n = 5 und schreibe die 6 Summanden explizit auf, bei der oberen und auch bei der unteren Darstellung. Nun schmuggle ich ein k=1 hinein, muss das aber auch wieder subtrahieren, damit sich das wieder neutralisiert: Weiter nehme ich k = n+1 und k = n+2 separat nach rechts:
Damit haben wir also erhalten:
So, ich schicke das mal ab, weil mein Computer absturzgefähredet ist und ich nicht alles nochmals eintippen will. Die Fortsetzung folgt also sogleich... |
|
|
|
Hallo panirac
... dann also noch zum vorderen Teil, wo dir auch ein Fehler unterlaufen ist. Du hast oben bei der Summationsgrenze nicht ausmultipliziert: 2(n+1)=2n+2.
Somit kommen eben noch 2 Summanden dazu, nämlich für k = (2n+1) und für k = (2n+2)
Also etwa so:
und jetzt also die beiden Summanden für k = 2n+1 und k = 2n+2 separat geschrieben:
Und jetzt nach Induktionsvoraussetzung:
Und jetzt einfach noch von der obigen Vorbereitung die letzte Gleichung übernehmen.
Alles klar?
Gruss
Paul
P.S. Ich habe hier jetzt nichts Anderes gemacht als in meiner früheren Antwort, lediglich die Reihenfolge ein wenig abgeändert. Aber soviel freiheitliches Denken muss man als Mathematiker anwenden und akzeptieren können.
|
|
|
|
PUH, ich glaub JETZT hab ichs kapiert. Danke, das ist echt lieb von dir. Leider hatte meine Nachfrage nicht was mit mangelndem selbstständigem Denken zu tun, sondern eher damit, dass ich einfach gar keinen Peil hatte... Danke für deine Hilfe, ich glaub, dass ich das jetzt hinkriegen müsste. Vielen herzlichen Dank!Ich lass jetzt hier mal noch offen, falls derjenige mit der anderen Induktionsfrage auch noch hier was fragen oder anfügen will. |
