Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vollständige Induktion mit zwei Summenzeichen

Vollständige Induktion mit zwei Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Induktionsschluss, Sonstig, Summenzeichen, Vollständig Induktion

OldLazarus aktiv_icon

11:10 Uhr, 03.11.2020

Aufgabenstellung: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Behauptung

B (n) : \sum_{k = n}^{2 n} k = 3 \sum_{k = 1}^{n} k

wahr ist für alle natürlichen Zahlen

n = 1,2,3, . .

.

Mein Ansatz:
I. Induktionsanfang

n_{0} = 1

\sum_{k = 1}^{2} k = 1 + 2 = 3

3 \sum_{k = 1}^{1} k = 3 \cdot (1) = 3

3 = 3 \to

wahre Aussage

II.Induktionsannahme
(#)

\sum_{k = n}^{2 n} k = 3 \sum_{k = 1}^{n} k n \in ℕ, n > 0

III. Induktionsschluss

\sum_{k = n + 1}^{2 (n + 1)} k = \sum_{k = n}^{2 n} k - n - (2 n) + (n + 1) + (2 (n + 1))

Frage:
Mein Induktionsschluss scheint falsch zu sein, weil beim Testeinsetzen für

n

zwei unterschiedliche Werte herauskommen. In diesem Forum gibt es bereits eine Frage mit genau derselben Aufgabe, wo die Lösung auch mit dabei ist, ich aber nicht verstehe wie sie auf die Lösung vom Induktionsschluss kommen.
Meine Frage lautet also jetzt, wo mein Gedankenfehler ist und wie ich auf die richtige Lösung komme. Bitte nicht nur die Lösung schreiben, weil die habe ich ja schon in dem anderen Post. Ich würde wirklich gerne verstehen, wie ich darauf komme und was der Gedankenprozess dahinter ist.

Link zur anderen Frage: www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendige-Induktion-fuer-zwei-Summen-Vollstaendige-Induktion

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

11:30 Uhr, 03.11.2020

\sum_{k = n + 1}^{2 \cdot n + 2} k = [\sum_{k = n}^{2 \cdot n} k] - n + (2 \cdot n + 1) + (2 \cdot n + 2)

Ohne VI erscheint mir der Beweis aber bedeutend einfacher.

OldLazarus aktiv_icon

11:40 Uhr, 03.11.2020

Diese Lösung steht auch in dem anderen Beitrag, den ich in meiner Frage erwähnt habe. Ich würde aber gerne wissen, wie ich auf diese Lösung komme und was der Gedankengang dahinter ist. Nur die Lösung bringt mir nichts.

Respon

11:43 Uhr, 03.11.2020

\sum_{k = n}^{2 \cdot n} k

hier fängt der Index bei

n

an, aber sollte erst bei

n + 1

anfangen, daher muss ich das erste Glied ( nämlich

n)

wieder subtrahieren.
Dann muss ich nur noch die hinzugekommenen Summanden anhängen, nämlich

2 \cdot n + 1

und

2 \cdot n + 1

OldLazarus aktiv_icon

11:48 Uhr, 03.11.2020

2 \cdot n + 2

verstehe ich, weil das kommt von

2 (n + 1)

.
Aber woher kommt das

2 \cdot n + 1

her und wieso muss man kein

(n + 1)

addieren?

Respon

11:53 Uhr, 03.11.2020

Vielleicht kannst du das besser erkennen, wenn du die beiden Reihen explizit aufschreibst und vergleichst.

\sum_{k = n + 1}^{2 \cdot n + 2} k = (n + 1) + (n + 2) + ... + (2 \cdot n) + (2 \cdot n + 1) + (2 \cdot n + 2)

\sum_{k = n}^{2 \cdot n} k = n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (2 \cdot n)

OldLazarus aktiv_icon

11:59 Uhr, 03.11.2020

Diese Darstellung hat geholfen. Jetzt versteh ich das. Vielen Dank.

rundblick aktiv_icon

12:09 Uhr, 03.11.2020

.
Induktionsannahme :

\sum_{k = n}^{2 n} k - [3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k] = 0

\to

Schritt von

n

auf

(n + 1) \Rightarrow \sum_{k = n + 1}^{2 n + 2} k - [3 \cdot \sum_{k = 1}^{n + 1} k] = 0

{\sum_{k = n}^{2 n} k - [3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k]} - n + (2 n + 1) + (2 n + 2) - [3 \cdot (n + 1)] = {\sum_{k = n + 1}^{2 n + 2} k - [3 \cdot \sum_{k = 1}^{n + 1} k]}

{0} - n + (2 n + 1) + (2 n + 2) - [3 \cdot (n + 1)] = {0}

:-)

1515343

1515331

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?