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Volumen eines Parallelepipeds

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Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Parallelepipeds, Skalarprodukt, Vektorraum, Volumen

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20:08 Uhr, 18.10.2012

Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds ABCDEFGH mit

A (1; 1; 0), B (0; 1; 0),

D (- 1; 2; 1), E (2; 2; 5)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Skalarprodukt
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Raummessung
Skalarprodukt
Volumen einer Pyramide

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anonymous

20:09 Uhr, 18.10.2012

Kennt du das "Spatprodukt"?

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20:10 Uhr, 18.10.2012

ich hab zu diesem plan einfach keinen plan?

kann mir jemand bitte so schnell als möglich weiterhelfen?

anonymous

20:10 Uhr, 18.10.2012

Siehe dazu:
http//de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

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20:13 Uhr, 18.10.2012

ja schon... bilde ich in diesem bsp das vektor produkt von AB und das spatprodukt d?

anonymous

20:16 Uhr, 18.10.2012

Das zeigt schon in die richtige Richtung.
Das Spatprodukt ist allgemein (a

x b) . c,

als das Vektorprodukt zweier vektoren ( ergibt ja wieder einen Vektor) skalar multipliziert mit dem dritten Vektor.

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20:18 Uhr, 18.10.2012

soweit klar...aber für was brauch ich dann den vektor

E

anonymous

20:18 Uhr, 18.10.2012

Wichtig ist jetzt die Bedeutung der einzelnen Vektoren.
Die beiden Vektoren des Kreuz- bzw. Vektorproduktes sind die Vektoren, die die Grundfläche des Körpers bilden.
Der dritte Vektor geht "schräg" nach oben, ist also NICHT die Höhe, sondern die Seitenkante.

anonymous

20:19 Uhr, 18.10.2012

Nicht verwechseln Punkt ( so wie in der Angabe angegeben ) und Vektor. Du brauchts für die Berechnung VEKTOREN,

d . h

. du musst den Anfangspunkt und Endpunkt des Vektors wissen.

anonymous

20:21 Uhr, 18.10.2012

Berechnet wird der Vektor von einem Punkt zu einem anderen mit der Regel "Spitze" minus "Schaft".

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20:24 Uhr, 18.10.2012

warte kurze...ich versuch das schnell durch zurechnen...

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20:33 Uhr, 18.10.2012

also ich rechne zuerst das kreuzprodukt AxB aus

(1,1,0) x (0,1,0) = (0,0,1)

dann den vektor ED=

(2,2,5) - (- 1,2,1) = (3,0,4)

dann muss ich das kreuzprodukt skalarmultipliziern mit dem vektor ED?

und für das volumen kommt dann 4 raus?

anonymous

20:34 Uhr, 18.10.2012

Nein, lies nochmals meine Anmerkungen bzüglich Punkte und Vektoren durch. Gegeben sind die Eckpunkte des Körpers, das sind nicht die Vektoren !

anonymous

20:37 Uhr, 18.10.2012

Für das Kreuzprodukt brauchst du die zwei Vektoren, die die Grundfläche des Körpers bilden. Gegeben sind aber die Eckpunkte.

anonymous

20:41 Uhr, 18.10.2012

Die Grundfläche deines Körpers ist ein Parallelogramm ( ABCD

),

gegeben sind die Koordinaten der PUNKTE

A, B

und D.
Vielleicht hilft die Zeichnung

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20:44 Uhr, 18.10.2012

ich glaub ich habs

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20:51 Uhr, 18.10.2012

zuerst bilde ich den vektor AB=(1,2,0) dann den vektor AD=(0,3,1)

daraus bilde ich das kreuzprodukt ABxAD

= (2, - 1,3)

dann bilde ich den Vektor AE=(3,3,5) und multipliziere ihn mit dem kreuzprodukt und komme dann auf ein volumen von

18!

anonymous

20:54 Uhr, 18.10.2012

Der Vektor AB geht von A nach

B

A (1 | 1 | 0), B (0 | 1 | 0)

Vektor AB=B-A

= (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

anonymous

20:56 Uhr, 18.10.2012

Und der Vektor AD geht von A nach D.

A (1 | 1 | 0), D (- 1 | 2 | 1)

Vektor AD=D-A=

... . .

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20:57 Uhr, 18.10.2012

aber der vektor AE stimmt dann?

anonymous

20:59 Uhr, 18.10.2012

Nein.
Der Vektor AE geht von A nach E.
Also AE=E-A=....

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21:04 Uhr, 18.10.2012

Vektor AB=(-1,1,0)
Vektor AD=(-2,1,1)
Vektor AE=(1,1,5)

D = - 110

- 211

115

D = 4

anonymous

21:06 Uhr, 18.10.2012

Vektor AB siehe meinen Hinweis von

20 : 54

anonymous

21:08 Uhr, 18.10.2012

D=−110
−211

115

Damit kann ich leider nichts anfangen. Was ist das?

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21:09 Uhr, 18.10.2012

Das spatprodukt wollte ich bilden:

- 1,0,0

- 2,1,1

1,1,5

Dann ist

D = - 4

davon nehme ich den betrag und mein volumen ist gleich

4!

anonymous

21:10 Uhr, 18.10.2012

Wie lautet jetzt das Ergebnis des Kreuzproduktes
AD

x

AB ( IST EIN VEKTOR

!)

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21:15 Uhr, 18.10.2012

(0, - 1,1)

anonymous

21:21 Uhr, 18.10.2012

Wenn du das Ergebnis des Kreuzproduktes

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

skalar mit dem Vektor
AE=

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

multipliziert, was erhält man dann?

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21:23 Uhr, 18.10.2012

- 4

anonymous

21:24 Uhr, 18.10.2012

Nein, das ist nicht richtig.

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21:25 Uhr, 18.10.2012

und davon nehm ich den betrag und dass ist dann gleich

4!

anonymous

21:27 Uhr, 18.10.2012

Das Ergebnis des Skalproduktes ist nicht

- 4

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21:28 Uhr, 18.10.2012

kreuzprodkut skalar mit AE =

(0, - 1,1) \cdot (1,1,5) = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 5) = - 4

anonymous

21:29 Uhr, 18.10.2012

Skalarprodukt

(\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{matrix})

(\begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{matrix}) = x_{a} . x_{b} + y_{a} . y_{b} + z_{a} . z_{b}

anonymous

21:30 Uhr, 18.10.2012

Das ergibt nicht

- 4

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21:31 Uhr, 18.10.2012

hab noch mein altes kreuzprodukt verwendet...sry..dass ergebnis ist natürlich 4

anonymous

21:33 Uhr, 18.10.2012

Und jetzt ist nur noch zu klären, was diese 4 ist.

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21:38 Uhr, 18.10.2012

die länge der vektoren?

anonymous

21:40 Uhr, 18.10.2012

Was wollten wir denn ausrechnen ( siehe Angabe )?

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21:41 Uhr, 18.10.2012

ich bin schon so verwirrt...dann ist das mein gesuchtes volumen!

anonymous

21:47 Uhr, 18.10.2012

Richtig.
Daher müsste man jetzt noch hinschreiben

V = 4 (

Volumseinheiten ) und nicht

D = . .

.
wie bei deinem Beitrag von

21 : 09

Noch ein Hinweis: Auf "Feinheiten" sind wir nicht eingegangen.
Ich habe dir das Kreuzprodukt AD

x

AB vorgeschlagen ( und nicht umgekehrt )
Grund: Aus den Angaben erkenne ich, dass

E

OBERHALB von A und

B

liegt. Ich muss daher dafür sorgen, dass der Normalvektor NACH OBEN geht ( bei umgekehrter reihenfolge geht er nach unten ). Das ist aber nicht wirklich ein Problem ( siehe 4 und

- 4)

Beispiel abgeschlossen,
Gute Nacht

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21:49 Uhr, 18.10.2012

vielen dank für deine hilfe!

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