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Volumen eines Rotationskörper

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Rotationskörper, Volumen

MathNerdy aktiv_icon

13:16 Uhr, 03.03.2010

Durch Drehung der Kurve $y = f (x) = \frac{x^{4}}{c}$ um die y-Achse entsteht ein Rotationskörper.
Berechnen Sie das Volumen desjenigen Teils dieses Rotationskörpers, der zwischen
den Ebenen $y = c$ und $y = 2 c$ eingeschlossen ist.

Ich weiss nicht wie ich die rechnen soll. :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ahmedhos aktiv_icon

13:28 Uhr, 03.03.2010

Ganz einfach erklaert:
Rotierst du den Graphen einer Funktion

y (x)

um die x-Achse, dann ist folgende Formel fuers Volumen des Rotationskoerpers gueltig:

V = π \cdot \int_{x_{1}}^{x_{2}} {(y (x))}^{2} d x

Rotierst du hingegen den Grapher einer Funktio

x (y)

um die y-Achse, dann ist diese Formel fuers Volumen des Rotationskoerpers gueltig:

V = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} {(x (y))}^{2} d y

Bemerkung: Bei der Rotation um die x-Achse oder um die y-Achse stellen

y (x)

und

x (y)

den Radius, der von der

x

bzw. von der y-Achse bis zu einem Punkt auf dem Graphen der Funktion gezaehlt wird. "beachte die Reihenfolge".

V = π \cdot \int_{c}^{2 c} {({(c \cdot y)}^{\frac{1}{4}})}^{2} d y

http//de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper
http//www-e.uni-magdeburg.de/harbich/rotationskoerper.php

MathNerdy aktiv_icon

14:11 Uhr, 04.03.2010

Ich verstehe nicht wieso du

{({(c \cdot y)}^{\frac{1}{4}})}^{2}

machst ?
Sollte es nicht einfach

{(\frac{x^{4}}{c})}^{2}

sein also mit Stammfunktion

{(\frac{x^{5}}{5 c})}^{2}

Ich kapier das mit

x (y)

nicht in der formel.

ahmedhos aktiv_icon

14:21 Uhr, 04.03.2010

z . B

y (x) = y = x^{2} \Leftrightarrow x (y) = x = \sqrt{y}

DerDepp aktiv_icon

15:20 Uhr, 04.03.2010

Hossa :-)

VORSICHT, du rotierst nicht um die x-Achse!!! In der Aufgabe steht:

Durch Drehung der Kurve

y = f (x) = \frac{x^{4}}{c}

UM DIE Y-ACHSE entsteht ein Rotationskörper.

Die Aufgabe dazu lautet: Berechnen Sie das Volumen desjenigen Teils dieses Rotationskörpers, der zwischen den Ebenen y=c und y=2c eingeschlossen ist.

Zur Lösung der Aufgabe musst du dir klar machen, was bei der Rotation einer Kurve um die y-Achse passiert. Ein Punkt (x,y(x)) dreht sich um die y-Achse, wobei ein Kreis entsteht. Der Kreis hat den Radius

r = x

(weil wir ja um die y-Achse rotieren) und befindet sich in der "Höhe" y(x). Bei der Rotation entsteht also aus jedem Punkt der Kurve y(x) ein Kreis mit Radius

r = x

in der "Höhe" y(x). Am Ende entsteht ein Volumen aus lauter übereinander gestapelten Kreisen.

Du sollst nun berechnen, wie groß das Volumen ist, das sich in einer "Höhe" von y(x)=c bis zu einer "Höhe" von y(x)=2c bildet.

Auf der "Höhe" y(x) beträgt der Radius des Kreises

r = x

. Die Fläche des Kreises ist daher:

F = π \cdot x^{2}

Diese Kreise müssen wir integrieren, und zwar von y=c bis y=2c. Daher müssen wir das x in der Fläche durch y ersetzen. Dazu formen wir die Funktionsgleichung um:

y = \frac{x^{4}}{c} \overset{}{\Rightarrow} x^{4} = c y \overset{}{\Rightarrow} x = (c y)^{0.25} \overset{}{\Rightarrow} x^{2} = \sqrt{c y}

Damit können wir die Kreisfläche F in Abhängigkeit von y schreiben:

F = π \sqrt{c y}

Nun können wir die gewünschten Kreise (von einer "Höhe" y=c bis zu einer "Höhe" y=2c summieren:

V = \int_{c}^{2 c} π \sqrt{c y} d y

Nun brauchst du nur noch das Integral zu berechnen und bist fertig.

Viele Grüße

DerDepp

MathNerdy aktiv_icon

19:15 Uhr, 05.03.2010

Danke melde mich wenn ich noch fragen haben sollte.

ahmedhos aktiv_icon

02:42 Uhr, 06.03.2010

Naja

\int π \cdot \sqrt{c \cdot y} d y = \int π \cdot {({(c \cdot y)}^{\frac{1}{4}})}^{2} d y

denn

{({(c \cdot y)}^{\frac{1}{4}})}^{2} = {(c \cdot y)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} = {(c \cdot y)}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{c \cdot y}

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