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Volumen eines Rotationskörper

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ellipsoid, Integration, Rotationskörper, Volumen

 
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83gp-de

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11:32 Uhr, 23.06.2010

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Hallo,
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Durch die Rotation der Kurve b2x2+a2y2=a2b2 um die y-Achse entsteht ein Rotationsellipsoid.
Gesucht ist das Volumen.

Ich kenne zwar die Formel für das Rotationsvolumen bei Drehung einer Kurve um die y-Achse:

Vy= π∫cdx2dy=π∫cd[g(y)]2dy

Aber ich komme trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis wenn ich die nach y aufgelöste Funktion einsetze.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Edddi

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12:02 Uhr, 23.06.2010

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x=a2⋅b2-a2⋅y2b2

x=ab⋅b2-y2

Somit:

V=π⋅∫0bx2⋅dy

V=π⋅a2b2⋅∫0b(b2-y2)⋅dy

V=π⋅a2b2⋅(b2⋅∫0b⋅dy-∫0by2⋅dy)


V=π⋅a2b2⋅(b2⋅b-b33)

V=23⋅π⋅a2⋅b

...wir haben hier aber nur den halben Ellipsoiden berechnet (da nur den positiven Teil der Wurzel), also musst du das alles noch mal 2 nehmen.

;-)
83gp-de

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14:56 Uhr, 23.06.2010

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Super, jetzt is mir das klar :-)
Wie kommt man aber auf ∫0b?
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Edddi

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07:23 Uhr, 24.06.2010

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...entweder indem man die Nullstellen von x=g(y) sucht:

g(y)=ab⋅b2-y2=0

b2-y2=0

y=±b

...oder indem man einfach weiß, das a und b die Halbachsen einer Ellipse darstellen.

Und für das Rotationsvolumen integriert man eben vom Zentrum bis zum Rand, also von 0 bis b

;-)
Frage beantwortet
83gp-de

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08:19 Uhr, 24.06.2010

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Alles klar :-)

Danke für deine Hilfe