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Volumen eines Torus berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Rotationskörper, Torus, Volumen

litema aktiv_icon

22:11 Uhr, 23.10.2012

Unser Thema sind Rotationskörper und sollen jetzt das Volumen eines Torus berechnen. Irgendwie komme ich nicht auf den Ansatz. Brauche dringend hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

23:57 Uhr, 23.10.2012

Wo ist die Aufgabe ?
Wo ist die Frage ?
Wo ist Dein Ansatz ?

litema aktiv_icon

10:29 Uhr, 24.10.2012

die Frage ist: Wie groß ist das Volumen eines Torus?
und auf den Ansatz komme ich irgendwie nicht.

Mathe45

10:37 Uhr, 24.10.2012

Ein Torus benötigt zur Bestimmung ein

R (=

Abstand vom Drehzentrum ) und

r (=

Radius des den Torus bildenden Kreises).
Kurz:
Fasst man die Kreisscheibe als infinitiven Zylinder auf ( also ein Zylinder mit Dicke gegen NULL ) und multipliziert diesen mit dem Weg der Kreisscheibe

(= 2 \cdot R \cdot π),

so erhalte ich das Volumen.
Also

V =

(r^2*pi)*(2*R*pi)=2*R+r^2*ph^2
Die "strenge" Rechnung geht natürlich über Integrale.

Mathe45

10:39 Uhr, 24.10.2012

Sry, der Formeleditor hat wieder zugeschlagen.
Also

V = (r^{2} \cdot π) \cdot (2 \cdot R \cdot π) = 2 \cdot R \cdot r^{2} \cdot π^{2}

Die "strenge" Rechnung geht natürlich über Integrale.

Mathe45

10:44 Uhr, 24.10.2012

Bzw. eine Interpretation aus der Physik:
Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird.
Hier speziell: Schwerpunkt = Mittelpunkt des Kreises. ( Voraussetzung: keine "Überlappungen" )

litema aktiv_icon

11:22 Uhr, 24.10.2012

Erstmal danke für deine Antwort, aber wir müssen das mit Integralen machen, hatten aber bis jetzt nur V=pi*Integral von

f^{2} (x)

Dafür benötige ich aber eine Funktion, die mir fehlt.

prodomo aktiv_icon

12:11 Uhr, 24.10.2012

Der Torus entsteht durch Rotation des Kreises mit

M (R | 0)

und dem Radius

r

um die y-Achse (man kann den Kreis natürlich auch anders legen). Zweckmäßig berechnet man nur den oberen Teil und nutzt die Symmetrie aus. Die Gleichung des oberen Halbkreises ist

{(x - R)}^{2} + y^{2} = r^{2}

bzw.

y = \sqrt{r^{2} - {(x - R)}^{2}}

. Die Streifen

y \cdot d x

erzeugen bei Rotation Zylindermäntel mit dem Volumen dV

= 2 \cdot π \cdot y \cdot x \cdot d x

im Bereich von

R - r

bis

R + r

. Unter Beachtung der Symmetrie gilt also

V = \int_{R - r}^{R + r} 2 \cdot 2 \cdot π \cdot x \cdot y \cdot d x = 4 \cdot π \cdot \int_{R - r}^{R + r} x \cdot \sqrt{r^{2} - {(x - R)}^{2}} \cdot d x

litema aktiv_icon

12:39 Uhr, 24.10.2012

dankeschön :-)

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