Volumen und Grundflächenberechnung Pyramide

Hallo liebe Community,

ich habe gerade eine Mathedefizit zu begleichen.

Aufgabe wie folgt.

Ich soll die den Inhalt der Grundfläche ABC einer dreisetigen Pyramide berechnen. Im Anschluss daran auch noch das Volumen.

Anscheinend muss ich aus den Punkten ABC erstmal eine Ebenengleichung erstellen mit der Formel: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b

Die Punkte sind A(-7|-5|2) B(1|9|-6) C(5|-2|-1) und D(-2|0|9)

Beim einsetzen ergäben sich 3 Gleichungen und 4 Unbekannte = schlecht.

Bitte um Hilfe!

Kennst du das Kreuzprodukt auch Vektorprodukt genannt?

Ja das ist mir bekannt. Mir ist nur nicht klar welchen Punkt ich mit welchen Punkt "kreuzproduzieren" sollte

Bestimmen wir zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|}$

Ich erhalte also die Vektoren AB(8|14|-8) und AC(12|3|-3) .

Diese setze ich in deine Formel ein. Ich erhalte die Hälfte des Betrags von dem Kreuprodukt aus beiden VEktoren, sprich (-18|-72|-144).

Diese müssen nun alle quadriert werden und unter eine Wurzel, richtig?

Ergebnis wäre 81 LE. Ganz schön hoch. Trotzdem korrekt?

Alles richtig auch deine vektoren

die Wurzel schließlich noch halbieren

Das hört sich doch gut an! Jetzt muss ich nur noch wissen, wie man das Volumen der ganzen Pyramide berechnet.

Stichwort Spatprodukt, richtig?

Weiß allerdings gar nicht mehr wie das geht.

zu deiner vorletzten Antwort

es sind nicht 81 längeneinheiten sondern 81 Flächeneinheiten

es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC

Selbstverständlich, blöder Fehler. Danke

Wie sieht's aus mit dem Volumen?

Ich benötige die Höhe von D, ist das richtig? Um dann mit der Grundfläche und der Höhe das Volumen ermitteln zu können.

Wir berechnen jetzt das volumen der Pyramide mit Grundfläche ABC und Spitze D

Dafür benutzen wir das Spatprodukt

aber wir haben nicht das von AB und AC aufgespannte Rechteck als Grundfläche sondern

nur das von ihnen aufgespannte Dreieck, das Bedeutet wir müssen den Faktor 1/2 vor das Spatprodukt setzen;

ferner haben wir auch nicht den Spat sondern nur die Pyramide, das bedeutet wir müssen

zusätzlich den Facktor 1/3 den man bei Pyramiden braucht noch dazu multiplizieren:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}\left|\right(\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})*\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|}$

Was erhälst du als Lösung?

Wenn wir verschiedene Lösungen erhalten, sollten wir auch zwischenergebnisse vergleichen.

Das wäre dann ... V = 1/3 * 1/2 | (-18| -72|-144) * (5|5|7)|

Das bedeutet: Wurzel aus 90²+ 360² + 1008²

Das wiederrum ein endergebnis von 170 Einheiten.

Werden sie Raumeinheiten genannt oder wie?

Du hast das Skalarprodukt ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-18\\ -72\end{array}\\ -144\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\\ 7\end{array}\right)}$ falsch berechnet!

Ah man rechnet ( -18*5)+(-72*5)+(-144*7) ... = -1458

Oder wie?

Das Skalarprodukt heißt so weil ein Skalar herauskommt und nicht ein Vektor:

es ist 5*(-18)+5*(-72)+7*(-144)=-1458

von dieser Zahl bilden wir den Betrag und erhalten 1458

diese Zahl teilen wir durch 6 und erhalten 243 Das ist das Volumen unsere Pyramide:

V=243

Ah ok, vielen vielen Dank.

Hast mir sehr geholfen.

Beste Grüße aus Berlin!

deine letzte Antwort ist richtig. Ich habe schon einmal weitergerechnet, weil ich gleich weg will.

zu deiner lezten Antwort: gern geschehen und hast sehr gut mitgerechnet

Danke (: Hast ebenfalls sehr gut erklärt! Mach's gut!!