Volumen unter einer Fläche berechnen

der zylinder hat auf der x-y ebene die Grundfläche: pi*4

Er geht senkrecht nach oben und schneidet E: z+y=4 das erste mal bei z=2.

Das Volumen bis hier beträgt 2*pi*4 (entsprich dem hellgrün Gefärbten)

darüber hat man einen diagonal geteilten Zylinder mit gleicher Grundfläche und höhe

4 (Der benötigte Teil dunkelgrün gefärbt). V ist dabei 4*pi*4*0.5

Heißt zusammen ergibt sich: 2*pi*4 + 2*pi*4=16*pi VE

Hallo

Kann mich nur anschliessen wollte bloss meine muehen auch noch mal abdrucken.

Ansicht der Situation Abb.1

Offensichtlich aus der Kreisgleichung geht der Radius ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$. siehe Abb.2

Das Lageverhaeltniss der beiden Ebenen von der Seite ueber die z-Achse aufgetragen.

wobei ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4}$ die Seitenansicht der schiefen Ebene ist. siehe Abb3

Ich habe folgende Formel fuer schiefgeschnittene Zylinder verwendet, wobei h1 und h2 die laengste und kuerzeste Mantellinie des Zylinders sind.

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*\frac{{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}{2}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-2)+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)}{2}=16\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Hallo Ettenna

habe ich richtig gehört? Du machst Ana2-Klausur? Und du suchst nach Folmelsammlungen?

Das kann doch nicht sein!! 

Hier handelt es sich offensichtlich um eine Integrationsaufgabe, bei der man am Besten eine Koordinatentransformation durchführt (Zylinderkoordinaten):

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

z bleibt z

Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist bekanntlich r.

Die Integrationsgrenzen laufen dann für z von 0 bis ${\displaystyle 4-\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, für r von 0 bis 2 und für ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von 0 bis ${\displaystyle 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Also dieses:

${\displaystyle \iiint \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit den oben angegebenen Grenzen.

Nach Auswertung des innersten Integrals bekommst du dieses:

${\displaystyle \iint 4\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit den oben angegebenen Grenzen.

Wieder nach Auswertung des inneren Integrals ergibt sich dieses:

${\displaystyle {\int }_0^{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}8-\frac{8}{3}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

mit dem Ergebnis ${\displaystyle 16\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, wie erwartet (Vorredner)

Alles klar?

Gruss

Paul