Volumenberechnung zwischen zwei Flächen

Hallo Zusammen,

habe folgende Aufgabe gelöst und möchte eigentlich nur wissen ob das Ergebnis stimmt, oder ob ich mich da iwie verrechnet habe.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers zwischen der Grundfläche ${\displaystyle [0;2]\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[1;3]}$ und der Funktionsfläche von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2)=\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$


So habe ich gelöst:

${\displaystyle [0;2]}$ ist meine ${\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1$ Ebene
${\displaystyle [1;3]}$ ist meine ${\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2$ Ebene

Also

$\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2({\int }_1^3\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1$

dann halt Stammfkt nach ${\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2$ gebildet, Grenzen eingesetzt und subtrahiert.

das gleiche natürlich mit ${\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1$.

Als Ergebnis habe ich dann V= 16,5 VE

Ist das richtig?

Bin mit nämlich nicht ganz sicher ob man einfach z.B. 1/2 x * 9/2 zusammen fassen kann zu 9/4 x?!

Gruß mel

Also erster Schritt steht ja oben...

dann weiter, Stammfunktion mit x2 bilden ( x1 als Konstante sehen)

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2[\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2]\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$

Grenzen einsetzen:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{1}{2}\cdot 3^2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot 3)-(\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1^2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot 1)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$

Subtrahieren (vllt habe ich ja hier nen Fehler):

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{9}{2}+6{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1)-(\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{1}{2}+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(\frac{9}{4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+6{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1)-(\frac{1}{4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1 \\ \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2\left(8\frac{1}{4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1} \end{gathered}$$

ODER für die letzten beiden Schritte:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(6\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{9}{2})-(2\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{1}{2})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1 \\ \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(4\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \frac{8}{2})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1 \\ \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^2(4\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot 4)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1} \end{gathered}$$

So, und dann das gleiche nocheinmal für das Integral für dx1.... von der Formel

8 1/4x1 oder 4 1/2 x1*4???

Gruß Mel

Hi, nochmal...

oh ich sehe ich habe da was komisches hingeschrieben, hab jetzt auch 10 x1

raus.

Nochmal zu dem Schritt davor: also kann ich ruhig so etwas z.B. 9/2 x1 * 4/5 zusammenfassen????

Ich danke dir.... :)