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Vorzeichen beim Umstellen einer Gleichung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Gleichungen, Sonstiges, umstellen, Vorzeichenwechsel

Fohnbit aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.11.2011

Hallo

Ich bin mit immer unsicher, wenn ich eine Variable auf die andere Seite bringen muss, wegen den Vorzeichen und der Position.
Bsp:

u 1 - u 2 = \frac{K}{x y}

Nun soll

u 2

freigestellt werden also muss ich

u 1

auf die andere Seite bringen und das Vorzeichen um kehren. Soweit ok.
Aber muss nun

u 1

von

\frac{K}{x y}

abgezogen werden:

- u 2 = - u 1 + \frac{K}{x y}

oder umgekehrt:

- u 2 = \frac{K}{x y} - u 1

Gibts hier irgendwie eine Eselsbrücke oder ein Verständnisvolle Erklärung für mich?

Vielen Dank!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

piquadrat aktiv_icon

17:52 Uhr, 05.11.2011

Beides ist richtig.
Hier ein ganz einfaches Beispiel:

Ausgangsgleichung:

1 - (- 2) = 3

Beide Varianten:

2 = - 1 + 3

2 = 3 - 1

Fohnbit aktiv_icon

14:09 Uhr, 06.11.2011

Hallo

Ok, danke!

Vielleicht noch ein Komplexeres Beispiel:

b + h - x = u - b - k - y

Ist demnach wieder egal wo ich k einsetze?

b + h - k - x = u - b - y

- k - b + h - x = u - b - y

Aber wenn Klammern und Multiplikationen im Term sind?:

b + h - 2 (i - x) = u - b - k - 5 (b + y)

Nun möchte ich y freistellen:

- u + b + k + b + h - 2 (i - x) = - 5 b - 5 y

- u + b + k + b + h - 2 (i - x) + 5 b = - 5 y

\frac{- u + b + k + b + h - 2 (i - x) + 5 b}{5} = - y

\frac{- u + 7 b + k + h - 2 (i - x)}{5} = - y

- \frac{- u + 7 b + k + h - 2 (i - x)}{5} = y

Ist das dann so richtig? Die

- 5 y

werden mit

5

multipliziert oder mit

- 5

?

Das Ergebnis ist sowohl(?):

- \frac{- u + 7 b + k + h - 2 (i - x)}{5} = y

oder

\frac{- (- u + 7 b + k + h - 2 (i - x))}{5} = y

oder

\frac{- (- u + 7 b + k + h - 2 (i - x))}{- 5} = y

DmitriJakov aktiv_icon

14:22 Uhr, 06.11.2011

Das mit den Vorzeichen musst Du wirklich noch üben.

b + h - x = u - b - k - y

Um jetzt

k

auf die linke Seite zu bringen musst Du auf beiden Seiten der Gleichung

k

addieren:

b + h - x + k = u - b - k - y + k

Auf der rechten Seite hebt sich

- k

und

+ k

auf, also bleibt übrig:

b + h - x + k = u - b - y

Diese beiden Schritte macht man allerdings normalerweise gleichzeitung, ich wollte es Dir nur deutlich machen.

Und wenn weiter Terme un Klammern im Spiel sind, dann machst Du das genauso.

Bei Deinem Beispiel, in dem Du nach

y

aufgelöst hast, hattest Du fast alles richtig. Nur die letzte Zeile hatte nicht gepasst:
Das Ergebnis ist sowohl:

- \frac{- u + 7 b + k + h - 2 (i - x)}{5} = y

\frac{- (- u + 7 b + k + h - 2 (i - x))}{5} = y

\frac{- u + 7 b + k + h - 2 (i - x)}{- 5} = y

Fohnbit aktiv_icon

14:48 Uhr, 06.11.2011

Hallo

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Sorry, das mit k war ein blöder Tippfehler.

- k

auf die andere Seite ist natürlich

+ k

Ein ganzer Bruch ist also negativ, wenn er gleich so geschrieben ist :-)
oder wenn der Zähler(die Summe des Zähler) negativ ist
oder wenn der Nenner (die Summe des Nenner) negativ ist

Wären beide (Zähler und Nenner) negativ, wäre der Bruch positiv, da -:- = + ergibt?

Soweit wäre mir das dann "hoffentlich" klar :-)

Ich habe in meinem Büchlein ein weiteres Beispiel, wo ich am Ende genau JEDE Variable ums Vorzeichen (falsch) habe:

\frac{1 + k}{1 - k} = \frac{a - b^{2}}{c}

Nach k freistellen:
Man kann ja einfach die 2 Brüche multiplizieren, oder?:

c (1 + k) = (1 - k) (a - b^{2})

c + c k = a - b^{2} - a k + b^{2} k

c = a - b^{2} - a k + b^{2} k - c k

c - a + b^{2} = - a k + b^{2} k - c k

c - a + b^{2} = k (- a + b^{2} - c)

\frac{c - a + b^{2}}{- a + b^{2} - c} = k

\frac{- a + b^{2} + c}{- a + b^{2} - c} = k

Richtig ist aber:

\frac{a - b^{2} - c}{a - b^{2} + c} = k

Sehe ich es richtig das beide Ergebnisse richtig sind und somit ident?
Wenn ja (habs mal nachgerechnet und scheint zu stimmen) frage ich mich:
Wenn ich einen Bruch habe, kann ich die Vorzeichen im Nenner und im Zähler einfach jeweils *(-1) rechnen und das Ergebnis bleibt das selbe.
Aber welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein? Ich vermute nur bei Addieren und Subtrahieren?

Danke!

DmitriJakov aktiv_icon

14:58 Uhr, 06.11.2011

Dein Ergebnis lautet:

k = \frac{- a + b^{2} + c}{- a + b^{2} - c}

Und das kann man mit

\frac{- 1}{- 1}

erweitern:

k = \frac{- 1 \cdot (- a + b^{2} + c)}{- 1 \cdot (- a + b^{2} - c)} = \frac{a - b^{2} - c}{a - b^{2} + c}

Fohnbit aktiv_icon

15:14 Uhr, 06.11.2011

Hallo

Super, vielen Dank für die Bestätigung.
Jedoch kann man den Zähler und Nenner auch mit -1 multiplizieren, wenn er weitere Rechenschritte enthält?
So ist:

\frac{- a + b - 2 (x + y)}{a - b - 2 (x - y)}

nicht

\frac{a - b + 2 (x - y)}{- a + b + 2 (x + y)}

jedoch hier schon:

\frac{a - b + 2 (x + y)}{- a + b + 2 (x - y)}

richtig?

Danke!

DmitriJakov aktiv_icon

15:23 Uhr, 06.11.2011

Ich nehme jetzt mal nur den Zähler, damit es übersichtlicher wird:

- a + b - 2 (x + y)

willst Du mit

- 1

multiplizieren:

(- 1) \cdot (- a + b - 2 (x + y)) = (- 1) \cdot (- a) + (- 1) \cdot b + (1 -) \cdot (- 2 (x + y)) = + a - b + 2 (x + y)

Fohnbit aktiv_icon

15:30 Uhr, 06.11.2011

Alles klar.

Vielen Dank für deine schnelle und tolle Hilfe!

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