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Vorzeichenwechsel

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Vorzeichenwechsel

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16:17 Uhr, 07.03.2011

Hallo Leute,

ich wollte mal fragen, wie man eine Extremstelle mit dem Vorzeichenwechsel bestimmt? Für den Fall, dass beim einsetzen in die 2. Ableitung 0 heraus kommt.

Ich kann mich noch dunkel daran erinnern, dass man bei der ersten Ableitung einmal

x + h

und einmal

x - h

einsetzen muss, um herauszubekommen, ob die Funktion steigt bzw. fällt.

Könnte mir das nochmal jemand erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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16:45 Uhr, 07.03.2011

Standard-Beispiel:

f (x) = x^{4}; f' (x) = 4 x^{3}

und

f'' (x) = 12 x^{2}

Die erste Ableitung hat nur eine (dreifache) Nullstelle bei

x_{e} = 0

.
Der Funktionswert der zweiten Ableitung an dieser Stelle ist aber auch

f'' (0) = 0

.
Nun gilt aber folgendes für die erste Ableitung

f' (x) = 4 x^{3} :

4 x^{3} < 0

für

x < 0

und

4 x^{3} > 0

für

x > 0

Somit wechselt

f'

an der Stelle

x = 0

das Vorzeichen von Minus nach Plus. Die Steigung von

f

ist bei negativen Stellen also zuerst negativ, wird dann größer bis sie schließlich an der Stelle

x_{e} = 0

genau null wird. Und dann wird sie bei positiven Stellen noch größer, also positiv. An der Stelle

x_{e} = 0

liegt somit ein Minimum vor.

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20:45 Uhr, 07.03.2011

Gut, ok so kann man sich das denken, aber gibt es da nicht auch ein Verfahren? Was ich bis jetzt so gesehen habe war einmal einen Wert einzusetzen, der etwas kleiner als die Stelle ist und einen der etwas größer ist. Nun hat mein Lehrer aber gemeint, wir sollen es mit diesem

h

machen. Sprich

x_{0} + h

einsetzen und

x_{0} - h

einsetzen und das

h

dann gegen 0 laufen zu lassen, ich kann mir nicht vorstellen, was das aussagt

z . B

. bei deiner Funktion. Ansich ist das ja aber dann eigentlich nichts anderes als ein Differenzenquotient oder?

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21:14 Uhr, 07.03.2011

In der Schule scheint man das näherungsweise so zu machen, aber das stimmt dann halt nicht unbedingt.
Zitat aus Wikipedia:
Ein Problem des VZW-Tests besteht darin, dass das Vorzeichen der Ableitung nicht nur für eine einzige Stelle ermittelt werden muss, sondern für ein ganzes Intervall. In der Schulmathematik bestimmt man daher oft nur für eine einzelne Stelle des Intervalls das Vorzeichen und schließt daraus, dass dieses Vorzeichen im ganzen Intervall gilt.

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21:06 Uhr, 08.03.2011

Gut, ok, nehme ich mal so hin.

Aber mich würde trotzdem gerne wissen, wie das mit der h-Methode aussehen müsste, könntest du mir das an einem Beispiel demonstrieren, wäre echt klasse.

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21:09 Uhr, 08.03.2011

Was denn für eine h-Methode? Meinst du den Differentialquotienten? Damit kannst du ableiten.

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23:14 Uhr, 08.03.2011

Ja, irgendwie soll das auch etwas damiz zu tun haben.

Also ich kann mich noch erinnern, dass wir mal eine Funktion hatten, wo die 2. Ableitung 0 war, sprich man kann nicht sagen ob Hochpunkt oder Tiefpunkt.

Deswegen haben wir den Wert für die Stelle, wo halt 0 rauskam einmal kurz davor betrachtet und einmal kurz danach, davor einmal mit

x_{0} - h

und danach mit

x_{0} + h,

das eingesetzt in die 1. Ableitung, ausgerechnet und irgendwie konnte man dann am

h

erkennen, ob das Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, weil

h

halt einmal negativ und einmal postiv war

z . B

. als man dann

h

gegen 0 laufen lassen hat.

DmitriJakov aktiv_icon

23:57 Uhr, 08.03.2011

Schau Dir mal den sehr ausführlichen Artikel zur Kurvendiskussion bei Wikipedia an:

http//de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Besser kann man es hier kaum erklären.

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10:57 Uhr, 09.03.2011

Wenn man

h

gegen null laufen lässt, erhält man dann doch wieder einach nur

lim_{h \to 0} f' (x_{0} + h) = 0

Ich verstehe nicht was das bringen soll?

Goone aktiv_icon

17:13 Uhr, 10.03.2011

Gut, ich glaube da habe ich mich etwas vertan. Ich nehme mal dein Beispiel:

f (x) = x^{4}

f' (x) = 4 x^{3}

f'' (x) = 12 x^{2}

0 = 4 x^{3} \Rightarrow x = 0

f'' (0) = 0

Dann benutze ich das jetzt mit

h,

ich setze einmal

0 + h

und einmal

0 - h

ein, das beschreibt einmal den Bereich vor 0 und einmal nach der 0.

f' (0 + h) = 4 {(h)}^{3} = h

Das

h

ist positiv, also steigt der Graph kurz nach 0.

f' (0 - h) = 4 {(- h)}^{3} = - h

Das

h

ist negativ, also fällt der Graph kurz vor 0.

\Rightarrow

Tiefpunkt bei 0

Soweit klar, denk ich, hättest du vielleicht mal eine Aufgabe für mich, wo ich das ganze mit einem Sattelpunkt testen könnte, wo der Sattelpunkt aber nicht bei 0 liegt? Also kein

f (x) = x^{3}

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17:22 Uhr, 10.03.2011

Also deine zwei Berechnungen und vorallem die Erläuterungen danach kann ich nicht nachvollziehen. Man sieht doch sofort wie sich die erste Ableitung verhält.
Wegen der anderen Frage, versuch es mal damit:

f (x) = x^{6} - 16 x^{5} + 62 x^{4} + 196 x^{3} - 2007 x^{2} + 5076 x - 4320; x \in ℝ

Goone aktiv_icon

20:14 Uhr, 10.03.2011

Gut ok, das ist dann doch etwas viel, will die auch halbwegs zeichnen können, haste du vielleicht noch eine andere?

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20:40 Uhr, 10.03.2011

;-) Dann versuch eben mal

g (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 8; D_{g} = ℝ

Goone aktiv_icon

18:44 Uhr, 12.03.2011

So, ich hab mich jetzt nochmal schlau gemacht, man setzt tatsächlich

x_{0} + h

und

x_{0} - h

ein. Bei deiner Funktion ist die 2. Ableitung einmal bei

- 2

und bei

0,25

gleich 0.

Bei

- 2

ist beim Zeichnen ein Sattelpunkt erkennbar.

f' (x) = 4 (x - \frac{1}{4}) {(x + 2)}^{2}

f' (- 2 + h) = 4 (- 2 + h - \frac{1}{4}) {(- 2 + h + 2)}^{2} = 4 (- 2,25 + h) \cdot h^{2}

Und wenn ich mir nun vorstelle, dass ganz klein ist, also nur ein Stück von

- 2

entfernt,

z . B

- 1,9999999

Dann sieht man, dass

4 (- 2,25 + h)

negativ bleibt und somit die Funktion nach

- 2

bzw. vor

- 2,

je nachdem wie man es sich anschaut fällt. Wenn man das gleiche nun für

- 2 + h

macht, dann kommt wieder etwas negatives heraus und man sieht, dass es dort auch fällt, sprich es fällt vor der

- 2

und nach der

- 2 \Rightarrow

Sattelpunkt.

Das meinte ich damit

⋀ ⋀

Danke für die Aufgabe.

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22:49 Uhr, 12.03.2011

Das ist doch genau das was ich oben gemacht habe. Man schaut eben wie sich die Funktion vor und nach der potentiellen Extremstelle (vorzeichenmäßig) verhält.

Goone aktiv_icon

13:47 Uhr, 13.03.2011

Gut, dann habe ich das oben falsch verstanden, jetzt ist es einleuchtend, danke.

Shipwater aktiv_icon

13:56 Uhr, 13.03.2011

Gern geschehen.

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