Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wachstumsprozesse mit Funktionenschar

Wachstumsprozesse mit Funktionenschar

Schüler

Tags: Funktionenschar, Textaufgabe, Wachstumsprozess

Matheoline aktiv_icon

13:14 Uhr, 08.03.2012

Hallo,
ich komme mit noch einer Aufgabe nicht klar, sie lautet folgendermaßen:

Die Höhe einer Sonnenblume

(\in

Meter) zur Zeit

t (\in

Wochen seit Beginn der Beobachtung) soll zunächst modellhaft beschrieben werden durch eine Funktion

h_{1}

mit

h_{1} (t) = 0,08 \cdot e^{k \cdot t}; k

ist Element von

R

a)

Bestimmen sie die Wachstumskonstante

k,

wenn die Sonnenblume in den ersten 5 Wochen der Beobachtung

0,52 m

gewachsen ist.

b)

Wie hoch müsste demnach die Sonnenblume nach Beginn der Beobachtung sein?

c)

Die Sonnenblume ist nach 8 Wochen tatsächlich nur

1,20 m

hoch. Die Höhe wird deshalb für

t \geq 5

modellhaft durch die Funktion

h_{2}

mit

h_{2} (t) = a - b \cdot e^{- 0,5 t}; a, b

ist Element

R

Bestimmen Sie a und

b

aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen. Welche Höhe wird langfristig erwartet?

d)

Welchen Nachteil hat Modell

h_{1}

gegenüber Modell

h_{2}

a)

und

b)

kann ich.

C)

habe ich folgenden Ansatz:

1,20 = a - b \cdot e^{- 0,5 \cdot 5}

nach a auflösen in die Gleichung einsetzen und

b

ausrechnen und in a einsetzen;
a und

b

dann in

h_{2} (t)

einsetzen, nach

b

umformulieren bzw. ausrechnen, dann a ausrechnen und in

h_{2} (t)

einsetzen, die Höhe ist die erwartete Höhe der Sonnenblume nach 5 Wochen, für 8 Wochen für

t = 8

eingeben und a und

b

einsetzen, dann hat man die erwartete Höhe nach 8 Wochen.

Die langfristig erwartete Höhe ist der Grenzwert der Funktion. Also

t

strebt gegen unendlich.

d)

Hier habe ich keine Idee.

Ich glaube

C)

ist nicht richtig. Kann mir jemand helfen? Danke im Voraus.

Gruß Matheoline

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

KalleMarx aktiv_icon

06:25 Uhr, 09.03.2012

Moina mal wieder!

Du hast bei c) ja nur eine Gleichung aufgeschrieben, hast aber zwei Unbekannte - das reicht wohl nicht ganz! Außerdem stimmt diese Gleichung so nicht, denn Du hast die Zeit

t = 5

Wochen eingesetzt und dies der Höhe

h_{2} = 1, 2

gleichgesetzt. Das ist doch aber die Höhe der Blume nach 8 Wochen.

Du brauchst also zwei Gleichungen und dazu setzt Du die beiden Gegebenen Punkte

P (5 ∣ 0, 6)

und

Q (8 ∣ 1, 2)

in die Funktion

h_{2}

ein:
I

1, 2 = a - b \cdot e^{- 4}

0, 6 = a - b \cdot e^{- 2, 5}

Nun kannst Du die Parameter

a

und

b

bestimmen. Ich bin durch Deinen Text, den Du unter Deiner Gleichung angegeben hast, nicht ganz durchgestiegen aber so wirklich richtig klingt das nicht. Klingt mir eher danach, als ob Du da dauernd eine Gleichung in sich selbst einsetzt.

Wenn Du z.B. Gleichung II von Gleichung I abziehst (eineinander einsetzen geht natürlich auch, macht aber mehr Arbeit) erhältst Du

b

:
I-II

0, 6 = b (e^{- 2, 5} - e^{- 4})

b = \frac{0, 6}{e^{- 2, 5} - e^{- 4}}

Dies setzt Du nun in eine der beiden Gleichungen I oder II ein und berechnest

a

a = 0, 6 + b \cdot e^{- 2, 5}

a = 0, 6 \cdot (1 + \frac{e^{- 2, 5}}{e^{- 2, 5} - e^{- 4}})

und weiter vereinfacht:

a = 0, 6 \cdot (1 + \frac{1}{1 - e^{- 1, 5}})

Die Funktion

h_{2}

strebt für

t \to \infty

mitnichten gegen Unendlich, sondern sie ist beschränkt. Der Funktionsteil

b \cdot e^{- 0, 5 t}

ist doch ein Zerfall. Mit zunehmendem

t

ziehst Du also immer weniger von

a

ab. Das bedeutet, daß der Grenzwert für

t \to \infty

gleich

a

ist. Die Rechnung dazu erfolgt mit dem Limes:

lim_{t \to \infty} a - b \cdot e^{- 0, 5 t}

= a - lim_{t \to \infty} b \cdot e^{- 0, 5 t}

= a - b \cdot e^{- \infty}

e^{- \infty} = 0

folgt:

lim_{t \to \infty} h_{2} (t) = a

.

Zu d)
Die Funktion

h_{1}

strebt für

t \to \infty

in der Tat gegen Unendlich und das ist doch ein Nachteil, wenn sie die Höhe einer Blume beschreiben soll. Oder wachsen bei Dir Blumen in den Himmel? ;o)

Gruß - Kalle.

Matheoline aktiv_icon

09:11 Uhr, 09.03.2012

Hallo Kalle,
danke dir für Deine Antwort.
Die Rechnung rechne ich später nach, habe aber gleich eine Frage:
Woher weißt Du das nach 5 Wochen die Blume

0,6 m

gewachsen ist, das steht doch da nicht. Hast Du das von den 8 Wochen gleich

1,20 m

abgeleitet? Sozusagen die Hälfte jeweils?

Das mit dem Grenzwert und

d)

habe ich verstanden. Nochmals danke.

Lg Matheoline

KalleMarx aktiv_icon

11:40 Uhr, 09.03.2012

Mahlzeit auch!

Nein, nix mit der Hälfte oder so. Das entnimmt man der Aufgabenstellung:
In Aufgabe a) hast Du nach fünf Wochen eine Höhe von 0,08+0,52=0,6 Metern. Aufgabe c) sagt nun, daß für

t \geq 5

eine andere Funktion anzusetzen ist. Da die Blume natürlich stetig wachsen soll und nicht von einer Sekunde auf die andere einen Höhensprung machen (eine Unstetigkeitsstelle haben) kann, muss sozusagen gelten:

h_{1} (5) = h_{2} (5)

.
Wirklich korrekt wäre

lim_{x \to 5} h_{1} (x) = 0, 6 = h_{2} (5)

, da bei einer geteilten Funktion ein und derselbe

x

-Wert natürlich nicht zu beiden Funktionsteilen gehören kann. Aber das nur am Rande.
Dementsprechend ist der Punkt

P (5 ∣ 0, 6)

Bestandteil der Funktion

h_{2}

.

Viel Spaß beim Nachrechnen ;o)

Matheoline aktiv_icon

12:44 Uhr, 10.03.2012

danke Kalle, habe alles verstanden.

Lg Matheoline

982410

981621

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?