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Wahrscheinlichkeit 12 seitiger Würfel

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlickeit, Würfel, Würfellspiel, Zufall

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aminionarris

aminionarris aktiv_icon

22:44 Uhr, 03.07.2024

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Hallo, ich sitze gerade an einem kleinen Würfelspiel und versuche Durchschnittswerte für einen Regelramen zu ermitteln.

Folgende Parameter.

12

seitiger Würfel
Die Zahlen von

1 - 5

sind Erfolge, wobei jede Zahl von

1 - 5

auch die Anzahl der Punkte angibt. So bedeutet eine

2,

man hat 2 Punkte und eine 5 man hat 5 Punkte. Die Ergebnisse 6 bis

12

sind 0 Punkte.

Die Wahrscheinlichkeit einen Erfolg zu würfeln liegt bei

41,67 %

. Nun versuche ich aber die Durchschnittspunkte heraus zu finden. Kann mir hier jemand helfen? Ist schon ne Weile her bei mir

\land

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

calc007

22:52 Uhr, 03.07.2024

Antworten

Hallo
Die Wahrscheinlichkeit 1 Punkt zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 2 Punkte zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 3 Punkte zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 4 Punkte zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 5 Punkte zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

6)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

7)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

8)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

9)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

10)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

11)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.
Die Wahrscheinlichkeit 0 Punkte (über die Seite

12)

zu würfeln beträgt

\frac{1}{12}

.

Erwartungswert

= \sum

Wahrscheinlichkeit*Punkte

d . h . :

Erwartungswert

= \frac{1}{12} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0)

Frage beantwortet

aminionarris

aminionarris aktiv_icon

22:59 Uhr, 03.07.2024

Antworten

Danke, also wenn ich es richtig verstehe

\frac{1}{12} \cdot 15

. Dann käme ich auf

1,25

. Ich habe nun zu Testzwecken

50 x

gewürfelt und komme so auf

1,33

. Das passt :-). Ganz lieben Dank, der Ansatz hilft mir ungemein.

Antwort

calc007

23:02 Uhr, 03.07.2024

Antworten

Du kannst dir den 'Test' mit

12 \cdot

Würfeln denken,
und das nicht wirklich dem Zufall überlassen,
sondern gedanklich systematisch klar machen,
dass dann ja stochastisch jede Seite genau einmal vorkommen müsste.

Frage beantwortet

aminionarris

aminionarris aktiv_icon

23:07 Uhr, 03.07.2024

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Ja, ich denke ich habe es verstanden. Habe es nun schon auf andere Würfel

(W 4, W 6, W 8

und

W 10)

angewandt und komme so wunderbar auf meine Ramenbedingungen für die Regeln. Nochmals ganz lieben Dank und einen schönen Abend.
Gruß Martin

Antwort

HAL9000

10:11 Uhr, 04.07.2024

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Eine Anmerkung noch zum statistischen Aspekt dieser Problemstellung, d.h. wenn man das ganze wie oben beschrieben simuliert:

Ist

X

die zufällige erzielte Punktzahl in einem Wurf, so wurde oben festgestellt

μ = E (X) = \frac{5}{4}

. Des weiteren bekommt man

E (X^{2}) = \frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}}{12} = \frac{55}{12}

und damit

σ^{2} = V (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = \frac{145}{48}

(interessanterweise also sogar

σ > μ

).

Damit kann man die Simulationsergebnisse einschätzen: Nach Zentralem Grenzwertsatz ist der Mittelwert

Y_{n}

der Punktzahlen aus

n

unabhängigen Würfen näherungsweise normalverteilt

N (μ; \frac{σ^{2}}{n})

. In deinem Beispiel

n = 50

würde sich da ergeben

N (1, 25; 0, 245 8^{2})

, d.h., mit deinem Resultat 1,33 hast du da sogar Glück und bist sehr nahe am Zentrum 1,25. In durchschnittlich 1 von 20 solchen Simulationen würde der Ergebniswert sogar außerhalb des

2 σ

-Intervall um den Mittelwert

μ

liegen, welches hier ca.

[0, 76; 1, 74]

lautet.

Frage beantwortet

aminionarris

aminionarris aktiv_icon

11:42 Uhr, 04.07.2024

Antworten

Ok, ich fürchte meine Mathekenntnisse reichen nicht ansatzweise aus, um Ihren Formeln zu folgen. Trotzdem lieben Dank.

Antwort

HAL9000

12:52 Uhr, 04.07.2024

Antworten

Es ist nur die theoretische Begründung dafür was passiert, wenn du deine 50er-Simulation hinreichend oft wiederholst, und dann mal von den jeweiligen Mittelwerten ein Histogramm plottest. Das wird dann die Form haben wie das einer Normalverteilung mit den von mir eben genannten Parametern.

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