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Wahrscheinlichkeit Teilbarkeit einer Summe durch 3

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Tags: Summe, Teilbarkeit, Urne, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Spikey2012

Spikey2012 aktiv_icon

18:37 Uhr, 05.04.2018

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Die Fragestellung lautet wie folgt:
In einer Urne stecken N viele Kugeln. Auf jeder Kugel ist eine natürliche zweistellige Zahl geschrieben. Dabei kommt jede Zahl genau einmal vor. Es werden zwei Kugeln gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gezogenen Zahlen durch 3 teilbar ist?

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass es zunächst (N¦2) (N über 2) unterschiedliche Möglichkeiten gibt 2 unterschiedliche Kugeln zu ziehen. Allerdings sind das ja viel zu viele Möglichkeiten für die letztendlichen Ergebnisse der Summe oder? Müsste man nicht eigentlich noch alle "doppelten" Summen (also die mit gleichem Ergebnis) rausrechnen? Und falls ja, dann wie?

Außerdem weiß ich nicht, wie man die Anzahl der Ergebnisse, die durch 3 teilbar sind allgemein angeben kann, da man ja keinerlei Informationen über die vorhandenen Zahlen etc. hat.
Ich weiß, dass die kleinste möglichste Zahl 21 und größte mögliche Zahl 109 sind und es dazwischen 30 durch 3 teilbare Zahlen gibt, aber ich weiß nicht wie man das auf beliebig vorhandene Zahlen verallgemeinern kann.
Die Quersumme muss ja durch 3 teilbar sein, aber ich weiß nicht wie ich das einbauen soll.
Mein Problem ist, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich dass so vollkommen allgemein anwenden soll.
Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:20 Uhr, 05.04.2018

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So wie du die Fragestellung hier angibst ist die Aufgabe nur lösbar, wenn N=90 ist, weil sonst keine Information über die N Zahlen gegeben ist.

Sei N=3 und die Zahlen seien 12,27 und 33, dann ist die gesuchte WKT 1.
Handelt es sich aber um die Zahlen 13,28 und 34, dann ist die WKT gleich Null.

Interpretiert man die Aufgabe als mehrstufigen Prozess, bei dem zuerst N Zahlen aus den 90 möglichen gewählt werden und danach 2 Zahlen aus diesen N gewählten, so wäre das doch das gleiche, als ob man gleich die zwei Zahlen aus allen 90 möglichen wählt und man ist wieder beim Fall N=90.

Wie lautet denn die unveränderte und vollständige Aufgabenstellung?

Wie ist zB das "Dabei kommt jede Zahl genau einmal vor" zu verstehen? Wenn jede der 90 möglichen zweistelligen Zahlen genau einmal vorkommen muss, dann haben wir wieder N=90.
Wenn gemeint ist, dass keine Zahl mehrfach vorkommt, dann ist das falsch formuliert (von wem?).

P.S.: Wie kommst du eigentlich auf die Idee, dass die größte mögliche Zahl 109 sei? 98+97=1950mod3
Spikey2012

Spikey2012 aktiv_icon

19:35 Uhr, 05.04.2018

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Vielen Dank schonmal. Das heißt also die Anzahl aller möglichen Ergebnisse für die Summe wären 90 über 2 oder? Aber dabei hat man ja nicht beachtet, dass z.B. 11+22 und 10+23 das Gleiche ergibt. Ist das nicht relevant?

Leider ist das so wie ich es oben geschrieben habe die vollständige Aufgabenstellung, so wie ich sie bekommen habe.
Ich denke es ist gemeint, dass jede Zahl nur einmal vorkommen darf, aber das weiß ich leider auch nicht genau.

Gibt es eine Möglichkeit alle möglichen Ergebnisse der Summe, die durch 3 teilbar sind anzugeben? Weil man hat ja keine Informationen über die zwei gezogenen Zahlen bzw. die N enthaltenen.
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:20 Uhr, 05.04.2018

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Wenn wir von N=90, also der Menge aller zweistelligen Zahlen, ausgehen, dann zieh die zwei zahlen doch hintereinander.
Welche Zahl du als erstes ziehst ist egal. Für die zweite Zahl gibts immer eine ganze Reihe von Zahlen so, dass die Summe durch 3 teilbar ist.

Ist die erste Zahl durch 3 teilbar, dann gibt es in den verbleibenden 89 Zahlen noch 29 Zahlen, die mit der ersten eine durch drei teilbare Summe ergibt.

ist die erste zahl nicht durch drei teilbar, so gibt es in den verbleibenden 89 Zahlen noch 30 andere, die mit der ersten eine durch drei teilbare Summe ergibt.

Die Wkt, zwei Zahlen zu erwischen, deren Summe durch drei teilbar ist, ist somit genau 13.

Aber ich würde mich an einer Stelle wenn möglich doch noch erkundigen, wie die Aufgabe denn genau gemeint ist, denn diese Variable N irritiert doch ein wenig.
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