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Wahrscheinlichkeit Würfel 14 Milliarden Jahre

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlichkeit, Würfel

Balrig aktiv_icon

23:44 Uhr, 23.01.2023

Hallo, also ich bin auf dieses Gedankenexperiment mit einer Gleichung gestoßen, bin mir aber nicht sicher, ob diese korrekt ist. Folgendes Szenario: Auf

600

Millionen Planeten werden jeweils

80

Würfel gleichzeitig alle 4 Sekunden für insgesamt

15

Milliarden Jahre geworfen

\to

Wie wahrscheinlich ist das Ergebnis, dass mindestens einmal alle

80

Würfel auf irgendeinem dieser Planeten eine 6 zeigten in insgesamt

15

Milliarden Jahren?
Die Formel lautete

{(1 - \frac{1}{6^{80}})}^{\frac{600.000.000 \cdot 15.000.000.000 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 60}{4}}

Ist das wirklich korrekt? Ich denke, die richtige Alternative wäre:

1 - {(1 - \frac{1}{6^{80}})}^{\frac{600.000.000 \cdot 15.000.000.000 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 60}{4}}

aber das würde die Wahrscheinlichkeit beschreiben, mindestens einen Würfel mit 6 von insgesamt

80

Würfen auf einem beliebigen Planeten zu bekommen, oder? Denn wenn ich es berechne, kommen immer

100 %

raus.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

05:18 Uhr, 24.01.2023

1)

Der vorletzte Faktor im Exponenten sollte

60

und nicht

24

sein

2)

Du berücksichtigst keine Schaltjahre :-)

3)

Du berechnest mit diesem Ausdruck die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei keinem der vielen Würfelergebnissen auftritt.
Und ja, diese Wkt ist nahezu

100 %

(auch die meisten CAS werden da mit einem under-/overflow zu kämpfen haben).

Demnach ist die Wkt, dass einmal alle

80

Würfel eine Sechs zeigen nahezu 0.

Kein Wunder, denn im Schnitt tritt dieses Ereignis ja bloß einmal alle

6^{80} \approx 1,8 \cdot 10^{62}

Würfe auf.
Du lässt aber "nur" ca.

7 \cdot 10^{25}

mal würfeln.

walbus aktiv_icon

06:38 Uhr, 24.01.2023

Was für ein absurdes Zahlenspiel!
Passend zum absurden Welttheater, das wir gerade erleben - nicht nur in der Ukraine.
Welches Hirn denkt sich so etwas aus? Absurdes Zahlenspiel ohne Sinn und Ziel.
Irgendwie pervers.

10^{62}

Jahre, das ist ca.

10^{52}

mal die Zeit seit dem Urknall.
Bis dahin gibt es längst keine Atome mehr und damit auch keine Würfel.

Ich las mal etwas ähnlich Verrücktes:
Welchen Zinssatz braucht man, um aus 1 Cent soviel Geld in

2000

Jahrenzu machen,
dass man das Weltall damit vergolden könnte (Kugel mit Radius

14

Milliarden Lichjahre).

Zum Vergleich:
www.schwiizerfranke.com/josephspfennig

HAL9000

08:46 Uhr, 24.01.2023

> Denn wenn ich es berechne, kommen immer 100% raus.

Womöglich spielt dir auch die Numerik einen Streich: Wegen

6^{80} \approx 1 0^{62}

solltest du mit ca. 70 oder mehr Dezimalstellen rechnen, damit das so klappt. Eine Alternative: Nutze das numerisch günstigere

{(1 - \frac{a}{n})}^{n} \approx e^{- a}

,

was im Grenzwert

n \to \infty

sogar genau gilt, für sehr große

n

aber schon ziemlich gut. Hier würden wir wählen

n = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 1 0^{8} \cdot 15 \cdot 1 0^{9} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 7.0956 \cdot 1 0^{25}

sowie damit dann

a = \frac{n}{6^{80}} \approx 4 \cdot 1 0^{- 37}

.

Für so betragsmäßig kleine

a

gilt zudem

e^{- a} \approx 1 - a

mit ausreichender Genauigkeit, somit haben wir insgesamt eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr

1 - 4 \cdot 1 0^{- 37}

. Das ist wirklich verdammt nah an 1. ;-)

P.S.: Betrachte statt 80 mal nur 33 Würfel, dann bekommst du eine ausgewogene Wahrscheinlichkeit (weder zu nahe an 0 noch an 1).

@walbus

Von

1 0^{62}

Jahren ist nirgendwo die Rede. Wenn man sich schon echauffiert, dann nicht über selbst hinzugedichtetes. :-)

walbus aktiv_icon

11:23 Uhr, 24.01.2023

PS:
Warum nicht gleich mit allen Sternen im Kosmos rechnen, auf denen gewürfelt wird
von fiktiven temperaturresistenten Spielern?
Die Zahl soll bei

100

bis

200

Milliarden Sternen pro Galaxie liegen.
Es soll ferner

100

bis

400

Milliarden Galaxien geben.
Ein Quantencomputer löst sich auch dieses Problem

-

in ?? Jahren.
Die Stromrechnung dafür schickst du dann deinem Prof.

:-)

HAL9000

11:28 Uhr, 24.01.2023

Es gibt kein Verbot für "unrealistische" Gedankenexperimente. Ich habe mich z.B. an diesem erfreut, weil es ein paar numerische Fallstricke für die bereit hält, die einfach mit dem Taschenrechner die obige Potenz berechnen wollen. :-)

walbus aktiv_icon

11:45 Uhr, 24.01.2023

"Es gibt kein Verbot für "unrealistische" Gedankenexperimente."
Das hast du völlig Recht.

Nur wenn das ein Normalbürger liest, denkt er:

a)

Was für ein Schwachsinn!Wie kommt man nur auf sowas?
oder

b)

dieses Problem möchte ich auch haben
oder

c)

Kann man damit vlt. irgendwie Kohle machen? :-)

Oder könnte es doch eines Tages bei der Eroberung des Kosmos mit Von-Neumann-Sonden
relevant werden?
Dass wird bald einen anderen Planeten zum Wohnen brauchen, zeichnet sich ab.
Entweder wird ersticken im Dreck oder an der schlechten Luft oder überall
wird es unerträglich heiß wie in manchen Gegenden in Afrika.

segelreporter.com/panorama/umwelt-daten-und-fakten-zum-ausmass-der-verschmutzung-unserer-ozeane

muellnichtrum.rlp.de/zahlen-und-fakten

HAL9000

12:30 Uhr, 24.01.2023

Wenn alle immer nur nach dem Motto handeln "Was nur die Leute darüber denken!", dann gibt es überhaupt keinen Fortschritt mehr - weder wissenschaftlich, technisch noch gesellschaftlich.

walbus aktiv_icon

12:51 Uhr, 24.01.2023

Auch da hast du Recht, auch wenn vieles im Sande verläuft oder unbezahlbar ist.

Was einmal gedacht wurde, kann nicht zurückgenommen werden (Dürrenmatt).
Oft Gott sei Dank, oft leider.
Wo gehobelt wird, fallen auch lästige Späne. Aber auch die kann man verwerten.

Balrig aktiv_icon

14:24 Uhr, 24.01.2023

Vielen Dank schonmal für die schnellen Antworten.

@HAL9000 ist das jetzt die richtige Formulierung der Antwort?:

Die Wahrscheinlichkeit dass nach all diesen Versuchen wenigstens einmal auf irgendeinem der

600

Mio Planeten alle

80

Würfel die AZ 6 zeigten, ist

4 \cdot 10^{- 37}

. Und

1 - 4 \cdot 10^{- 37}

ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht ein einziges Mal funktioniert hat, was ja beinahe 1 also

100 %

ist.

Kannst du mir bitte noch sagen wie diese Formel die du verwendet hast, heißt? Die mit dem

{(1 - \frac{a}{n})}^{n}

und dem

a = \frac{n}{6^{80}}

. Die habe ich vorher nämlich noch nie gesehen und würde das gerne nachlesen mit dem Grenzwertverhalten.

Danke

HAL9000

14:50 Uhr, 24.01.2023

Der Grenzwert

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

, gültig für alle reellen (und auch komplexen)

x

ist ziemlich bekannt aus der Analysis (in der Schule wird zumindest der Fall

x = 1

besprochen), ich nutze ihn für

x = - a

n

ist der Exponent, klar. Und dann wähle ich eben

a

so, dass

\frac{a}{n} = \frac{1}{6^{80}}

wird, um auf die Struktur

{(1 - \frac{a}{n})}^{n}

zu kommen.

Balrig aktiv_icon

15:01 Uhr, 24.01.2023

Ok alles klar, das habe ich verstanden. Die Grundstruktur kam mir schon bekannt vor, habe nur die Umformung nicht ganz verstanden.

und die Formulierung der Antwort ist jetzt auch korrekt?:

Die Wahrscheinlichkeit dass nach all diesen Versuchen wenigstens einmal auf irgendeinem der

600

Mio Planeten alle

80

Würfel die AZ 6 zeigten, ist 4⋅10^−37. Und 1−4⋅10^−37 ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht ein einziges Mal funktioniert hat, was ja beinahe 1 also

100 %

ist.

Oder ist das "wenigstens einmal" hier falsch?

HAL9000

15:20 Uhr, 24.01.2023

Das hast du vollkommen richtig interpretiert.

Balrig aktiv_icon

15:24 Uhr, 24.01.2023

Vielen Dank für eure Zeit und die schnellen Antworten :-D)

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