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Wann alle Wurzeln berechnen und wann nicht?

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Hochzahl, Komplexe Zahlen, Wurzel

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ebuxc

ebuxc aktiv_icon

20:12 Uhr, 18.11.2019

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Wann weiß ich wann ich die einzelnen Wurzeln berechnen muss und wann ich nur die Hochzahl berechnen muss?

Bsp: Berechnen Sie alle komplexen Zahlen

z,

sodass

z^{3} + 8 = 0,

dh. lösen Sie die Gleichung nach (allen komplexen)

z

auf.

Woher weis ich in der Aufgabenstellung, dass ich die 3 Wurzeln berechnen muss? Und wann weis ich, dass ich nur die Hochzahl in die Berechnung einsetzen muss

(r^{3} \cdot e^{3 \cdot i \cdot φ})

.

Danke für die Erklärung im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 18.11.2019

Antworten

.
"Wann alle Wurzeln berechnen und wann nicht?"

\to

die Aufgabe ist doch klar gestellt:
"Berechnen Sie alle komplexen Zahlen

z,

sodass z^3+8=0"

\to

Klartext: bestimme ALLE Lösungen von

z^{3} = - 8

dazu wirst du im ersten Schritt

- 8

in Polarform darstellen

\Rightarrow

z^{3} = 2^{3} \cdot e^{(\frac{3}{2} π \cdot i + 2 k π \cdot i) . .}

. mit

k \in Z

die drei Lösungen kannst du für

k = 0, 1, 2

so notieren

\to

z_{k} = 2 \cdot e^{(\frac{1}{2} π \cdot i + \frac{2}{3} k π \cdot i)}

also:

z_{0} = 2 \cdot e^{(\frac{1}{2} π \cdot i)} = 2 \cdot i

z_{1} = 2 \cdot e^{(\frac{1}{2} π \cdot i + \frac{2}{3} π \cdot i)} = 2 \cdot (cos

210°

+ i \cdot sin

210°

) = - \sqrt{3} - i

z_{2} = 2 \cdot e^{(\frac{1}{2} π \cdot i + \frac{4}{3} π \cdot i)} = 2 \cdot (cos

330°

+ i \cdot sin

330°

) = + \sqrt{3} - i

fertig
.

ebuxc

ebuxc aktiv_icon

21:21 Uhr, 18.11.2019

Antworten

Hi, danke für deine Aufklärung.

Aber woher kommt denn

\frac{3}{2} Π

? Ich dachte der Winkel ist nur

Π

?

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

21:55 Uhr, 18.11.2019

Antworten

"Aber woher kommt denn

\frac{3}{2}

Π? Ich dachte der Winkel ist nur Π ?"

Aua

\to

du hast ja völlig Recht ! saublöd : natürlich ist bei

- 8

der Winkel

π

also : korrigiere

\to z^{3} = 2^{3} \cdot e^{π \cdot i + 2 k π \cdot i}

und damit dann

\to z_{k} = 2 \cdot e^{\frac{π}{3} \cdot i + \frac{2}{3} k π \cdot i}

die drei Lösungen mit

k = 0, 1, 2

kannst du ja nun selbst richtig ermitteln

ok?
.

Frage beantwortet

ebuxc

ebuxc aktiv_icon

22:04 Uhr, 18.11.2019

Antworten

Super :-)

Danke dir, jetzt habe ich es verstanden.

ebuxc

ebuxc aktiv_icon

22:50 Uhr, 19.11.2019

Antworten

\to z^{3} = 2^{3} \cdot e^{π \cdot i + 2 \cdot k \cdot π}

Hallo, noch eine kleine Rückfrage.

Warum wird in dem Bereich nicht beim

e^{}

auch die Potenz

\cdot 3

multipliziert?
Ich dachte es gilt

z^{n} = r^{n} \cdot e^{n \cdot i}

?

Danke im Voraus.

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

11:33 Uhr, 20.11.2019

Antworten

.

z^{3} = - 8

z^{3} = + 8 \cdot (- 1) \to ...

. Beträge sind positiv - deshalb

+ 8 .

. und der Winkel zu

(- 1)

ist

\to π + 2 k π

\Rightarrow

auf der

r e c h t e n

Seite steht also

\to 8 \cdot e^{(π + 2 k π) \cdot i} . .

. mit

\to k \in ℤ

"Warum wird in dem Bereich nicht beim

e

auch die Potenz ⋅3 multipliziert?
Ich dachte es gilt

z^{n} = r^{n} \cdot

e^..?"

so - und wenn du auch die

l i n k e (!!!)

Seite in Polarform darstellen willst:
Ansatz

z = r \cdot e^{φ \cdot i}

dann sieht das da so aus

\to z^{3} = r^{3} \cdot e^{3 \cdot φ \cdot i}

also statt

z^{3} = 8 \cdot (- 1)

hast du dann - wie gewünscht - deinen Exponenten 3 friedlich auch beim

e

r^{3} \cdot e^{3 \cdot φ \cdot i} = 8 \cdot e^{(π + 2 k π) \cdot i} . .

. mit

k \in ℤ

und jetzt kommt der Vergleich :

\to

für den Betrag gilt

\to r^{3} = 8 . .

.

\Rightarrow r = 2

\to

für den Winkel gilt

\to (3 \cdot φ) = (π + 2 k π) . .

.

\Rightarrow φ = \frac{π}{3} + \frac{2}{3} k π

dh du hast die Zahlen

z_{k} = 2 \cdot e^{(\frac{π}{3} + \frac{2}{3} k π) \cdot i} .

. für die die Gleichung

{(z_{k})}^{3} = - 8

erfüllt ist

noch ausführlicher kann ich dir die Sache leider nicht mehr verkaufen .. :-)
.

Frage beantwortet

ebuxc

ebuxc aktiv_icon

17:55 Uhr, 20.11.2019

Antworten

So, Danke dir vielmals für die ausführliche Erklärung!

:-)

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