Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wann darf Limes reinziehen?

Wann darf Limes reinziehen?

Schüler

Tags: Folgen, lim, Rechenregeln, reinziehen

peter42 aktiv_icon

11:51 Uhr, 25.06.2017

Hallo,

ich habe eine Frage bzgl. den Rechenregeln des Limes bei Folgen. Und zwar bin ich verwirrt, wann man den Limes genau reinziehen kann und wann nicht. Ein paar Beispiele erläutern das vielleicht besser:
("lim" bedeutet hier immer

lim

n->infinity)

1. Wir wissen dass wir den Limes in stetigen Funktionen reinziehen können

lim e^{- \frac{1}{n}} = e^{lim (- \frac{1}{n})},

e^{x}

stetig ist.

lim {(n + \frac{1}{n})}^{2} = {(lim (n + \frac{1}{n}))}^{2},

x^{2}

stetig ist.

Warum können wir mit dem gleichen Argument nicht sagen

"lim

{(n + \frac{1}{n})}^{n} = {(lim (n + \frac{1}{n}))}^{n},

x^{n}

stetig ist."

Ich weiß, dass

lim {(n + \frac{1}{n})}^{n} = lim {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = : e

und mit obiger Rechnung käme

lim {(n + \frac{1}{n})}^{n} = {(lim (n + \frac{1}{n}))}^{n} = 1^{n} = 1 \neq e

heraus. Aber kann mir jemand erklären, warum sich das Argument

2 x^{2}

ist stetig2 nicht auf

2 x^{n}

ist stetig2 übertragen lässt?

Ist es also generell so, dass ich den Limes *nicht* reinziehen kann, wenn der Exponent von

n

abhängt?
Bzw. noch allgemeiner: Gilt, dass ich den Limes nicht an *irgendwas* vorbeiziehen darf, was von

n

abhängt?

(Also bspw. am Index vorbeiziehen:

lim (n^{- \frac{1}{n}}) = n^{lim (- \frac{1}{n})}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Werner-Salomon aktiv_icon

10:18 Uhr, 26.06.2017

Hallo Peter,

Du scheibst: "Gilt, dass ich den Limes nicht an *irgendwas* vorbeiziehen darf, was von n abhängt?"

Im Prinzip Ja. Den Ausdruck

(n + \frac{1}{n})^{n}

kann man auch schreiben als

f (g (n), n)

, wenn

f (x, y) = x^{y}

und

g (x) = x + \frac{1}{x}

ist. Dann darf man nicht auf die einzelne Teile der Funktion

f

den Limes anwenden. d.h.:

lim_{n \to \infty} f (g (n), n) \neq f (lim_{n \to \infty} g (n), \infty)

Nehmen wir mal ein einfaches triviales Beispiel:

lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1

Wenn man daraus

lim_{n \to \infty} n \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \infty \cdot 0

macht, ist das Ergegnis nicht mehr definiert. Während z.B.:

lim_{n \to \infty} 2 \cdot f (n) = 2 \cdot lim_{n \to \infty} f (n)

offensichtlich immer korrekt ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1377847

1377692

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?