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Warum erscheint eine e-Funktion beim integrieren?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integration, Lineare Systeme

EitelSonnenschein

14:52 Uhr, 22.08.2019

Hallo, in einem Buch steht zur Einführung in lineare Systeme, dass aus

\dot{x} = A x + B u

bei konstanten A und

B

folgt:

x (t) = e^{A (t - t_{0})} x (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d t

Ich verstehe nicht wirklich, warum beim integrieren die e-Funktion erscheinen kann, wenn ich das ganze differenziere, bleibt diese doch erhalten, wenn

t \neq t_{0}

. (Ich nehme an,

τ

ist der Zeitpunkt in dem

B u

nicht mehr Null ist?).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

HAL9000

16:14 Uhr, 22.08.2019

Die Integration erfolgt NICHT über

t

, sondern über

τ

, d.h., am Ende des Integrals muss

\dots d τ

stehen!!!

P.S.: Konstante

B

ist eigentlich überflüssig, die kann man auch gleich in der Störfunktion

u

drin mit abfrühstücken.

EitelSonnenschein

14:07 Uhr, 23.08.2019

Oh, entschuldige,da habe ich falsch abgeschrieben, das sollte ein

d τ

sein. Ob ich jetzt

B

und

u

trenne oder zusammenfasse ist ja eigentlich egal, ich finde es bisher ganz übersichtlich so, aber danke für die Info.

Angenommen der Input bleibt Null, dann wäre

\dot{x} = A x

bzw.

x (t) = e^{A (t - t_{0})} \cdot x (t_{0}),

wenn ich

x (t)

nach

t

ableite, stünde da doch

\dot{x} (t) = A \cdot e^{A (t - t_{0})} \cdot x (t_{0})

?

Aber Moment, ich habe gerade meinen Fehler erkannt, ich wollte die ganze Zeit, dass da

\dot{x} (t) = A \cdot x (t_{0})

rauskommt, aber das stimmt ja nicht, es soll

\dot{x} (t) = A \cdot x (t)

rauskommen, also ist

e^{A (t - t 0)} \cdot x (t_{0}) = x (t),

richtig?
Okay, danke fürs antworten, ich stand einfach auf dem Schlauch.

ledum aktiv_icon

16:48 Uhr, 23.08.2019

Gut dass du deinen Fehler selbst gesehen hast, aber wenn die Frage erledigt ist bitte abhaken.
Gruß ledum

EitelSonnenschein

19:50 Uhr, 23.08.2019

Oh, ja, sorry, sicher.

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