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Warum geht diese Wurzel-Gleichung auf?

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Tags: Finanzmathematik, Funktion, polynom, Potenz, Wurzel, Wurzelgleichung

KlamseN aktiv_icon

13:38 Uhr, 11.11.2013

Hallo zusammen,

ich habe in meinem Mathebuch ein bespiel, welches leider nicht weiter erklärt wird. Gefragt ist, ob folgende Funktion ein Polynom ist:

g (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}

(bei der 4 bin ich nicht

100 %

sicher - habe das Buch leider immoment nicht hier, es war aber sicher eine Konstante)

Die Antwort ist: Ja, es ist ein Polynom, da

\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = x + 4

Kann das sein? Ich verstehe nicht, wie ich auf diese Gleichnung komme. Kann mir bitte jemand helfen? Wenn das in euren Augen auch nicht Stimmt, dann werd eich heute abend nochmal genau aus dem Buch zitieren.

Vielen Dank an alle und Gruss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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13:51 Uhr, 11.11.2013

Vllt. sollte es so lauten:

\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} = \sqrt{{(x + 1)}^{2}} = (x + 1)

KlamseN aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.11.2013

Hallo supporter.

Jetzt wo du es schreibst - das sieht logisch aus :-)

Ich werde das heute abend mal überprüfen, ob die Konstante die 1 war und dir eine Rückmeldung geben / die Frage schliessen.

Vielen Dank schonmal! Das mit der binomischen Formel hatte ich vor lauter Zahlen nicht auf dem Schirm :-)

Danke und Gruss

EDIT: Kannst du mir nochmal erklären, wieso

\pm

? Wenn

\sqrt{{(x + y)}^{2}}

gegeben ist, dann ist das doch

x + y,

\sqrt{}

und

^2

sich aufheben?

Gerd30.1 aktiv_icon

14:02 Uhr, 11.11.2013

Negative Quadratwurzel??

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14:26 Uhr, 11.11.2013

Danke, Gerd, da ist bei mir etwas durcheinandergeraten.
Natürlich muss das

\pm

weg.Hab´s soeben korrigiert. :-))

Matheboss aktiv_icon

15:16 Uhr, 11.11.2013

und was ist, wenn ich

x = - 4

setze.

\sqrt{{(- 4 + 1)}^{2}} = \sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3 \neq - 4 + 1

Also

\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = | x + 1 |

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15:20 Uhr, 11.11.2013

Danke, Matheboss,
genau diese Verwechslung war mir oben unterlaufen.
Bist halt ein echter/echt guter Boss. :-))

Matheboss aktiv_icon

17:13 Uhr, 11.11.2013

Hallo supporter!

Ächz, würgh

. .

.
Geht mir runter wie lauwarmes Olivenöl.

KlamseN aktiv_icon

22:48 Uhr, 11.11.2013

Vielen Dank euch allen.

Aber nochmal zu dir, Matheboss.
Wäre

\sqrt{{(- 4 + 1)}^{2}}

durch

\sqrt{}

und

{(...)}^{2}

nicht von Anfang an im ersten Schritt aufgehoben und somit

= - 4 + 1 = - 3

Matheboss aktiv_icon

10:49 Uhr, 12.11.2013

\sqrt{}

und Quadrieren heben sich gegenseitig auf", dabei musst Du schon darauf achten, dass "Wurzel aus" immer positiv ist.

\sqrt{{(- 4 + 1)}^{2}} = \sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3

deshalb auch die Betragssriche bei der Lösung.

\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = | x + 1 |

Dies beinhaltet die beiden Lösungsterme, die supporter schon angegeben hatte und sich dann verwirren hat lassen von Gerd.

\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = x + 1

für

x \geq - 1

\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = - (x + 1)

für

x < - 1

KlamseN aktiv_icon

12:30 Uhr, 12.11.2013

Danke, Matheboss.

Das mit dem Betrag leuchtet mir ein - wenn ich die Wurzel wirklich ziehen würde. Was ich noch nicht ganz nachvollziehen kann: Ich muss doch "Wurzel aus" garnicht berechnen?! Kann ich nicht die Wurzel einfach sofort mit der Potenz

x^{2}

"wegkürzen"? (verzeiht meine laienhafte Ausdrucksweise, ich tu mich noch recht schwer mit Mathematik ;-) )

Matheboss aktiv_icon

16:47 Uhr, 13.11.2013

Für

x \in ℝ

\sqrt{x^{2}} = | x |

da die "Wurzel aus" immer positiv ist.
Also quadrieren und Wurzel "heben sich schon auf", um bei Deiner Ausdrucksweise zu bleiben, aber Du musst dabei aber immer darauf achten, dass das Ergebnis immer positiv sein muss.

Also

\sqrt{x^{2}} = x

gilt nur für

x \in ℝ_{0}^{+}

für

x \in ℝ

muss du also unterscheiden

\sqrt{x^{2}} = x

für

x \in ℝ_{0}^{+}

\sqrt{x^{2}} = - x

für

x \in ℝ^{-}

Das lässt sich eben zusammenfassen zu

\sqrt{x^{2}} = | x |

für

x \in ℝ

Ich hoffe, damit kommst Du jetzt klar, denn sonst bin ich mit meinem Erlärungs-Latein am Ende.

Trotz alledem

lg

MB

KlamseN aktiv_icon

16:58 Uhr, 13.11.2013

Okay, soweit sogut. Ich verstehe das mit der Wurzel und des positiven Ergebnisses schon. Nur verstehe ich immer noch nicht, wieso ich überhaupt die Wurzel ziehen muss. Für mich fällt die Wurzel ja schon im ersten Schritt weg, und wenn die Wurzel erstmal weg ist, dann ist doch auch egal, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

Wie dem auch sei, ich versuch es mal irgendwie mit weiteren Aufgaben zu verstehen :-)

VIELEN Dank erstmal für deine grosse Hilfe!

Beste Grüsse

KlamseN aktiv_icon

16:58 Uhr, 13.11.2013

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